数学 › Dirac 作用素と相対論的量子力学の数理 › 外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb有料章

Dirac–Coulomb 作用素の本質スペクトル

定理 6.2（「外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb」§6） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 205 件、定義なども含めて 235 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 特別な自己共役拡大✓定理 4.6・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb

  • 自己共役作用素の直和✓補題 2.3・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

    • 自己共役性の基本判定✓定理 4.3・対称作用素と自己共役拡大 この先をたどる →
    • 時間発展の一意性✓補題 2.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
    • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
  • チャネルごとの Hardy 型不等式✓補題 4.4・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb

    • 半直線上の Hardy の不等式✓命題 7.1・Sobolev 空間
  • 動径作用素の自己共役拡大✓定理 4.3・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb

    • 最大作用素の定義域の原点での構造✓補題 4.2・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb この先をたどる →
    • 最大作用素と Green の公式✓補題 2.3・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb（上で展開済み）
    • 自己共役作用素の極大性✓命題 3.4・対称作用素と自己共役拡大 この先をたどる →
  • 閉グラフ定理（Hilbert 空間版）✓定理 4.3・非有界作用素

    • 閉グラフ定理✓定理 6.5・Banach 空間の基本定理 この先をたどる →
  • 最大作用素と Green の公式✓補題 2.3・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb

    • 半直線上の最小・最大作用素✓補題 6.3・対称作用素と自己共役拡大 この先をたどる →
  • Dirac–Coulomb 作用素の本質的自己共役性✓定理 4.5・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb

    • 部分波分解✓命題 2.1・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb この先をたどる →
    • 動径作用素の自己共役拡大✓定理 4.3・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb（上で展開済み）
    • 本質的自己共役性の判定✓系 4.4・対称作用素と自己共役拡大 この先をたどる →
  • Coulomb 型ポテンシャルの Kato–Rellich✓定理 3.1・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb

    • Hardy の不等式✓定理 3.1・シュレーディンガー作用素の自己共役性と束縛状態
    • 自由 Dirac 作用素の自己共役性とスペクトル✓定理 3.3・自由 Dirac 作用素（上で展開済み）
    • Kato–Rellich の定理✓定理 3.2・自己共役性の判定 この先をたどる →
• $|x|^{-1/2}$ の相対コンパクト性✓補題 5.6・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb

  • Hilbert–Schmidt 作用素と L² 積分核✓定理 6.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  • Kato の不等式（相対論的 Hardy 不等式）✓定理 5.3・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb

    • Coulomb 項の運動量表示✓補題 5.1・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb この先をたどる →
    • Schur の判定法✓補題 7.1・補間と古典的不等式
    • 基本の積分✓補題 5.2・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb
  • コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
• レゾルベントの差がコンパクトなら本質スペクトルは等しい✓補題 6.1・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb

  • Weyl の判定法✓定理 5.4・スペクトルの分類

    • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • 本質スペクトルのスペクトル射影による特徴づけ✓命題 5.2・スペクトルの分類 この先をたどる →
  • コンパクト作用素は弱収束を強収束に変える✓補題 6.1・スペクトルの分類
• 自由 Dirac 作用素の自己共役性とスペクトル✓定理 3.3・自由 Dirac 作用素

  • 表象の固有分解✓補題 3.2・自由 Dirac 作用素

    • Dirac 行列定義 2.1・自由 Dirac 作用素
    • Dirac 行列の次元✓定理 3.2・相対論的量子力学 この先をたどる →
  • Sobolev 空間 Hˢ(ℝⁿ)定義 3.1・Sobolev 空間
  • 滑らかな関数による近似✓定理 2.4・Sobolev 空間 この先をたどる →
  • 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
  • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
• 離散スペクトルと本質スペクトル定義 5.1・スペクトルの分類
• $D_ν$ の固有値と Sommerfeld の公式✓命題 4.7・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb

  • 特別な自己共役拡大✓定理 4.6・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb（上で展開済み）
  • 最大作用素の定義域の原点での構造✓補題 4.2・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb この先をたどる →
  • 動径作用素の自己共役拡大✓定理 4.3・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb（上で展開済み）
  • 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• 2 電子の自由なハミルトニアンのスペクトル✓命題 2.1・no-pair（Brown–Ravenhall）作用素
• no-pair 作用素の下界✓定理 4.2・no-pair（Brown–Ravenhall）作用素

関連するノック 2 問

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• Dirac 作用素 第 23 問有料