数学 › Dirac 作用素と相対論的量子力学の数理 › 外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb有料章

特別な自己共役拡大

定理 4.6（「外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb」§4） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 149 件、定義なども含めて 171 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 自己共役作用素の直和✓補題 2.3・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

  • 自己共役性の基本判定✓定理 4.3・対称作用素と自己共役拡大

    • 対称作用素の基本評価✓補題 4.1・対称作用素と自己共役拡大

      • 閉性の言い換え✓命題 4.2・非有界作用素
    • 値域と核の双対性✓補題 4.2・対称作用素と自己共役拡大

      • 共役の基本性質✓命題 5.6・非有界作用素
  • 時間発展の一意性✓補題 2.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

    • ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
  • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算

    • スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算

      • 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
      • 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
  • ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算

    • 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
• チャネルごとの Hardy 型不等式✓補題 4.4・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb

  • 半直線上の Hardy の不等式✓命題 7.1・Sobolev 空間
• 動径作用素の自己共役拡大✓定理 4.3・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb

  • 最大作用素の定義域の原点での構造✓補題 4.2・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb

    • 正則解と特異解✓補題 4.1・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb
  • 最大作用素と Green の公式✓補題 2.3・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb（上で展開済み）
  • 自己共役作用素の極大性✓命題 3.4・対称作用素と自己共役拡大

    • 共役作用素は閉✓定理 5.4・非有界作用素

      • 共役のグラフ✓補題 5.3・非有界作用素 この先をたどる →
    • 可閉性の判定✓命題 4.6・非有界作用素
• 閉グラフ定理（Hilbert 空間版）✓定理 4.3・非有界作用素

  • 閉グラフ定理✓定理 6.5・Banach 空間の基本定理

    • 逆写像定理（有界逆定理）✓系 6.2・Banach 空間の基本定理 この先をたどる →
• 最大作用素と Green の公式✓補題 2.3・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb

  • 半直線上の最小・最大作用素✓補題 6.3・対称作用素と自己共役拡大

    • 運動量作用素の閉包と共役✓命題 6.4・非有界作用素 この先をたどる →
• Dirac–Coulomb 作用素の本質的自己共役性✓定理 4.5・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb

  • 部分波分解✓命題 2.1・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb

    • 動径方程式✓命題 6.3・相対論的量子力学 この先をたどる →
    • スピン角度関数の性質✓補題 6.2・相対論的量子力学 この先をたどる →
  • 動径作用素の自己共役拡大✓定理 4.3・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb（上で展開済み）
  • 本質的自己共役性の判定✓系 4.4・対称作用素と自己共役拡大

    • 自己共役性の基本判定✓定理 4.3・対称作用素と自己共役拡大（上で展開済み）
    • 対称作用素の包含の鎖✓命題 3.3・対称作用素と自己共役拡大 この先をたどる →
    • 値域と核の双対性✓補題 4.2・対称作用素と自己共役拡大（上で展開済み）
• Coulomb 型ポテンシャルの Kato–Rellich✓定理 3.1・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb

  • Hardy の不等式✓定理 3.1・シュレーディンガー作用素の自己共役性と束縛状態
  • 自由 Dirac 作用素の自己共役性とスペクトル✓定理 3.3・自由 Dirac 作用素

    • 表象の固有分解✓補題 3.2・自由 Dirac 作用素 この先をたどる →
    • Sobolev 空間 Hˢ(ℝⁿ)定義 3.1・Sobolev 空間
    • 滑らかな関数による近似✓定理 2.4・Sobolev 空間 この先をたどる →
    • 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
  • Kato–Rellich の定理✓定理 3.2・自己共役性の判定

    • 自己共役性の基本判定✓命題 2.2・自己共役性の判定

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• $D_ν$ の固有値と Sommerfeld の公式✓命題 4.7・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb
• Dirac–Coulomb 作用素の本質スペクトル✓定理 6.2・外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb

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