スピン角度関数の性質

(1) $(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{L}+1)\,\Omega_{\kappa m}=-\kappa\,\Omega_{\kappa m}$（$\hbar=1$）。(2) $\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{r}}$ は $\boldsymbol{J}$ と可換で、$\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{r}}\,\Omega_{\kappa m}$ は $\Omega_{-\kappa,m}$ の（位相を除いて）定数倍である。以下では位相を $\Omega_{-\kappa,m}:=-\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{r}}\,\Omega_{\kappa m}$ と定め、$\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{r}}\,\Omega_{-\kappa,m}=-\Omega_{\kappa m}$ となる。(3) $\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{p}=(\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{r}})\left(-i\partial_r+\dfrac{i}{r}\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{L}\right)$。