角運動量の固有値

$\boldsymbol{J}$ を 定義 3.1 の意味の角運動量演算子とし、$V \subset \mathcal{H}$ を $J_1, J_2, J_3$ の作用で閉じた有限次元部分空間、$J_i$ は $V$ 上でエルミートとする。このとき次が成り立つ。

1. $V$ における $\boldsymbol{J}^2$ の固有値は $\hbar^2 j(j+1)$ の形に限られる。ここで $2j$ は非負整数、すなわち $j \in \{0, \tfrac12, 1, \tfrac32, \ldots\}$ である。
2. $\boldsymbol{J}^2$ の固有値 $\hbar^2 j(j+1)$ に属し、同時に $J_z$ の固有ベクトルでもあるベクトルの $J_z$ 固有値は $\hbar m$ の形で、$m \in \{-j, -j+1, \ldots, j-1, j\}$（$2j+1$ 個）に限られる。
3. 位相を適当に選べば、規格化された同時固有ベクトル $\lvert j, m\rangle$ の族を

が成り立つように取れる。