スピン 1/2 の 2 つの合成：三重項と一重項

$\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$ で $\boldsymbol{J}=\boldsymbol{S}_1+\boldsymbol{S}_2$ とし、

とおく。

1. これら 4 つは正規直交基底で、$\boldsymbol{J}^2\lvert1,m\rangle=2\hbar^2\lvert1,m\rangle$、$J_z\lvert1,m\rangle=m\hbar\lvert1,m\rangle$、$\boldsymbol{J}^2\lvert0,0\rangle=0$ である。さらに $J_x\lvert0,0\rangle=J_y\lvert0,0\rangle=J_z\lvert0,0\rangle=0$。
2. 2 つのスピンを入れ替える交換演算子 $P_{12}$（$P_{12}\lvert ab\rangle=\lvert ba\rangle$）は、三重項 $\lvert1,m\rangle$ では $+1$、一重項 $\lvert0,0\rangle$ では $-1$ として働く。したがって $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$ は三重項（交換で不変）と一重項（交換で符号が変わる）の直交和に分解する。