物理学 › フォック空間と第二量子化 › Nelson 模型と spin-boson 模型有料章

紫外切断つき Nelson 模型の自己共役性

定理 3.2（「Nelson 模型と spin-boson 模型」§3） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 93 件、定義なども含めて 110 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• A⊗1+1⊗B の自己共役性とスペクトル✓定理 4.3・Hilbert 空間のテンソル積と直積分

  • 有界作用素のテンソル積✓命題 4.1・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
  • テンソル積の正規直交基底✓命題 3.3・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
  • 不変な稠密部分空間と芯✓補題 4.2・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
  • Weyl 列による判定✓補題 2.1・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
  • 掛け算作用素のスペクトル✓補題 2.2・Hilbert 空間のテンソル積と直積分

    • Weyl 列による判定✓補題 2.1・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
• 直積分とテンソル積✓命題 5.4・Hilbert 空間のテンソル積と直積分

  • L²(X)⊗L²(Y) ≅ L²(X×Y)✓定理 3.5・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
• Segal 場の $H_b$ に関する相対評価✓命題 2.2・Nelson 模型と spin-boson 模型

  • 消滅作用素の $H_b$ 有界性✓補題 2.1・Nelson 模型と spin-boson 模型

    • dΓ(A) の自己共役性と $Γ(e^{itA})$✓定理 4.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

      • 自己共役作用素の直和✓補題 2.3・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
      • 1 粒子作用素の和の自己共役性と簡約✓定理 6.5・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間 この先をたどる →
      • ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
      • 時間発展の一意性✓補題 2.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
      • 第二量子化作用素 dΓ(A)定義 4.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)
      • 数作用素定義 3.2・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素
      • Γ の関手性✓命題 3.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
      • 可換性の同値な言い換え✓命題 7.2・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • 正準交換関係✓定理 5.2・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

      • 対称化と部分内積の交換公式✓補題 5.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
      • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
    • 生成・消滅作用素の閉性と共役関係✓定理 4.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

      • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
      • 成分ごとの作用素の閉性と共役✓補題 2.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
      • 可閉性と共役の稠密性✓定理 5.5・非有界作用素 この先をたどる →
• Kato–Rellich の定理✓定理 3.2・自己共役性の判定

  • 自己共役性の基本判定✓命題 2.2・自己共役性の判定
• 1 次の摂動を受けた自由場の下界✓命題 2.3・Nelson 模型と spin-boson 模型

  • Segal 場の $H_b$ に関する相対評価✓命題 2.2・Nelson 模型と spin-boson 模型（上で展開済み）
  • Kato–Rellich の定理✓定理 3.2・自己共役性の判定（上で展開済み）
  • 消滅作用素の $H_b$ 有界性✓補題 2.1・Nelson 模型と spin-boson 模型（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

• Feynman–Kac–Nelson 表示✓定理 4.2・Feynman–Kac 表示と場の模型の汎関数積分
• 自由ハミルトニアンの本質スペクトル✓命題 4.2・Nelson 模型と spin-boson 模型
• 有質量 Nelson 模型の HVZ 型定理✓定理 4.3・Nelson 模型と spin-boson 模型
• 有限の切断での Gross 変換後のハミルトニアン✓補題 7.10・Nelson 模型と spin-boson 模型
• Nelson 模型は一般化 spin-boson 型である✓補題 2.6・pull-through 公式と基底状態の一般論

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