数学 › 確率論 › Markov 連鎖と Poisson 過程

一様化による構成

定理 5.2（「Markov 連鎖と Poisson 過程」§5） ・ ✓公理まで証明済み

QQ をレート行列、Λ≥Λ0\Lambda\ge\Lambda_0（Λ>0\Lambda>0）とし、P=I+Q/ΛP=I+Q/\Lambda とおく。PP は遷移行列である（P(x,x)=1−q(x)/Λ≥0P(x,x)=1-q(x)/\Lambda\ge0）。(Yn)n≥0(Y_n)_{n\ge0} を遷移行列 PP の Markov 連鎖、(Nt)(N_t) を強度 Λ\Lambda の Poisson 過程で YY と独立なものとし、

Xt=YNt(t≥0)X_t=Y_{N_t}\qquad(t\ge0)

とおく。ポアソン重み wn(t)=e−Λt(Λt)n/n!w_n(t)=e^{-\Lambda t}(\Lambda t)^n/n! を使って Pt=∑n≥0wn(t)PnP_t=\sum_{n\ge0}w_n(t)P^n と定める。このとき

  1. Markov 性：s,t≥0s,t\ge0 と σ(Xu:u≤s)\sigma(X_u:u\le s) に属する任意の事象 EE について P(E∩{Xs+t=y})=E[1EPt(Xs,y)]P(E\cap\{X_{s+t}=y\})=E\bigl[\mathbf 1_EP_t(X_s,y)\bigr]。
  2. 半群性：Ps+t=PsPtP_{s+t}=P_sP_t、P0=IP_0=I。
  3. Kolmogorov 方程式：ddtPt=QPt=PtQ\dfrac{d}{dt}P_t=QP_t=P_tQ。すなわち Pt=etQP_t=e^{tQ}。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 33 件、定義なども含めて 38 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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