spin-boson 模型の Feynman–Kac 表示：跳び過程・連続時間 Ising 模型・相関不等式

物理学 spin-boson 模型と開放量子系第2章博士・研究有料「本」の章約 41 分2026-10-06

対象読者: 本テーマ第 1 章（spin-boson・Kondo 模型と Coulomb 気体）と、Feynman–Kac–Nelson 公式、Markov 連鎖・Poisson 過程を学んだ博士課程の人。統計力学の Ising 模型の初歩は知っているものとします。

前提となる記事:spin-boson・Kondo・共鳴準位模型：構成的ボソン化・Toulouse 点・Coulomb 気体、Feynman–Kac 表示と場の模型の汎関数積分：Nelson 模型と Pauli–Fierz 模型、Markov 連鎖と Poisson 過程：Doeblin のエルゴード定理から正準経路の比較まで

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0. この記事の要点

この章は、「二つの状態のあいだを行き来する小さな系が、まわりの場（熱浴）と触れ合うとき、何が起きるか」を、確率の言葉で数えなおす章です。時間を軸にして、小さな系が上向きと下向きのあいだをランダムに跳ぶ様子を一本の経路と見ると、全体は一次元に並んだ磁石の模型（Ising 模型）と同じ形になります。読み終えると、磁石の模型で知られている「結合を強めると相関が増える」という性質を、量子系の性質として引き出せるようになります。

spin-boson 模型 $H=\frac\varepsilon2\sigma_z+H_{\mathrm{b}}+\lambda\sigma_x\otimes\Phi_{\mathrm{S}}(v)$ は、 $\varepsilon=-2\Delta\le0$ と取れば（符号は $\sigma_x$ の共役で変えられる）、 $\sigma_x$ を対角にした Q 空間表示で $e^{-tH}$ が正値性を保ちます。2 準位の部分は強度 $\Delta$ のスピン反転の跳び過程 $\sigma_t=\sigma_0(-1)^{N_t}$ に、ボソンの部分は Euclid 場 $\xi_t$ になります。
Feynman–Kac–Nelson 公式： $\langle\Phi,e^{-TH}\Psi\rangle=e^{\Delta T}\sum_\sigma\mathbb{E}^\sigma\bigl[\int\overline{J_0\Phi(\sigma_0)}\,e^{-\lambda\int_0^T\sigma_s\xi_s(v)\mathrm{d}s}J_T\Psi(\sigma_T)\,\mathrm{d}\mu_{\mathrm{E}}\bigr]$ 。途中の時刻に $\sigma_x$ を挟んでも同じ形で成り立ちます。
場をガウス積分すると、真空の行列要素は連続時間 Ising 模型の分配関数 $\mathbb{E}\bigl[\exp\int_0^T\!\int_0^T\sigma_s\sigma_tW(t-s)\,\mathrm{d}s\,\mathrm{d}t\bigr]$ になります。 $W\ge0$ なのでこれは強磁性で、相互作用の到達距離は浴のスペクトル密度の低周波数側で決まり、Ohmic 型では $1/t^2$ です。
時間を刻み幅 $\tau$ で離散化すると、跳び過程は最近接結合 $K_\tau=\frac12\log\coth(\Delta\tau)$ に、場の相互作用は長距離結合 $2\tau^2W$ になり、すべて非負の結合を持つ通常の Ising 模型が得られます。
その結果、Griffiths の第 1・第 2 不等式（相関の非負性と結合・体積についての単調性）と FKG 不等式が連続時間模型でも成り立ちます。たとえば $\langle\sigma_s\sigma_t\rangle\ge e^{-2\Delta|t-s|}$ で、相関は $\lambda$ について増加し、 $\Delta$ について減少します。

1. 動機

前章では、spin-boson 模型の真空振幅をトンネル項について展開し、Anderson–Yuval–Hamann の Coulomb 気体として書きました（定理 6.4［spin-boson・Kondo・共鳴準位模型］）。展開の第 $n$ 項には因子 $(-\varepsilon/2)^n$ が付き、 $\varepsilon\le0$ ならすべて非負です。そのとき展開は、跳びの時刻が強度 $\Delta=|\varepsilon|/2$ の Poisson 点過程に従う経路についての期待値と読めます。この章では、この読み方を真空の行列要素だけでなく任意のベクトルについて、跳び過程と Euclid 場を使った Feynman–Kac 公式として確立します。

確率論の言葉に移す利点は、統計力学の道具が使えることです。場を積分すると経路は自分自身と強磁性的に相互作用し、時間方向に無限に長い 1 次元の Ising 模型（ただし時間は連続）になります。強磁性 Ising 模型には Griffiths・FKG の相関不等式という強力な道具があり（相関不等式）、それらは「結合を強くすると相関が増える」といった単調性を、計算なしに保証します。第 3 章の相図の議論は、ほぼすべてこの単調性の上に立っています。

連続時間の模型に離散の不等式を移すには、時間を細かく刻んだ格子近似を作り、極限を取ります。跳び過程の遷移確率 $\frac12(1+\sigma\sigma'e^{-2\Delta\tau})$ が、ちょうど結合 $K_\tau$ の Ising 模型の最近接因子 $e^{K_\tau\sigma\sigma'}$ の形をしていることが鍵です。Feynman–Kac 公式そのものの証明は、Nelson 模型の Feynman–Kac–Nelson 表示と同じ手順で、Brown 運動を跳び過程に置き換えたものです。