spin-boson 模型の相図：臨界結合・基底状態と長距離秩序・局在転移

0. この記事の要点

量子ビットのような 2 つの状態をもつ小さな系が、まわりの環境と結びつくと、最初の状態にずっととどまるのか、それとも状態を行き来して最初の状態を忘れるのか、という素朴な疑問があります。この記事では、これを「時間軸に沿って並べたスピンの向きが、遠く離れた時刻どうしでもそろっているか」という磁石の問いに置き換えて調べます。読み終えると、とどまる側と忘れる側の境目（相図）の大まかな形が証明でき、どこまでが証明済みで、どこからが予想なのかを区別できるようになります。

• spin-boson 模型の相は、前章 の連続時間 Ising 模型の 2 点関数 $\tau_\lambda(t)=\langle\sigma_0\sigma_t\rangle_{\mathbb{R}}$ で記述します。$\liminf_{t\to\infty}\tau_\lambda(t)>0$ を局在相（時間方向の長距離秩序）、感受率 $\chi(\lambda)=\int\tau_\lambda<\infty$ を非局在相とします。
• GKS 不等式により $\tau_\lambda$ は $|\lambda|$ について増加し、$\Delta$ について減少します。そのため局在相と非局在相はそれぞれ 1 つの臨界結合 $\lambda_{\mathrm{LRO}}$, $\lambda_\chi$（$\lambda_\chi\le\lambda_{\mathrm{LRO}}$）で区切られ、$(\Delta,\lambda)$ 平面の相境界は単調です（Spohn の臨界結合）。
• 真空振幅 $e^{TE}\langle\Omega_\sigma,e^{-TH}\Omega_\sigma\rangle$（$\Omega_\sigma$ は、スピンが向き $\sigma$ でボソンが 1 つもない「裸の真空」）は $T\to\infty$ で基底状態（エネルギー最低の状態）との重なり $\|P_E\Omega_\sigma\|^2$ に単調に減少します。正値性から、基底状態があれば必ず裸の真空 $\Omega_\uparrow$ と重なります。
• 基底状態があれば $\tau_\lambda(t)=\langle\phi,\sigma_xe^{-t(H-E)}\sigma_x\phi\rangle$ と書け、基底状態が単純なら長距離秩序はなく、$\chi=2\|(H-E)^{-1/2}\sigma_x\phi\|^2$ です。対偶として、長距離秩序がある結合では単純な基底状態は存在しません。ボソンに質量があればすべての結合で非局在です。
• Ohmic 型では、Spohn（1989）が KMS 状態の言葉で、Betz–Hinrichs–Kraft–Polzer（2025）が基底状態の言葉で、結合の大きい側の局在（Fock 空間に基底状態がないこと）を示しました。小さい結合側では Hasler–Hinrichs–Siebert の存在定理と、De Roeck–Kupiainen の小結合展開による基底状態への接近があります（後二者はここでは主張として述べます）。

この記事で使う事前知識

• 連続時間 Ising 模型: 時間軸上でスピンが $\pm1$ の間をランダムに跳び、離れた時刻のスピンどうしにも相互作用がある模型。→ 連続時間 Ising 模型
• Feynman–Kac 表示: spin-boson 模型の量子的な時間発展を、上の模型の経路についての平均で書く公式。→ 前章
• spin-boson 模型: 2 準位系がボソン場に線形に結合した模型。→ spin-boson 模型
• GKS 不等式: 結合を強めても相関は減らない、という向きの相関不等式。この記事では相図の単調性に使います。
• スペクトル定理とスペクトル測度: 自己共役作用素 $H$ の関数 $f(H)$ を、測度による積分で表す道具。
• Fock 空間: ボソンの個数ごとの状態空間を束ねた空間。→ Fock 空間

1. 動機

散逸のある 2 準位系の局在転移は、物理では Anderson–Yuval–Hamann の繰り込み群と、Chakravarty、Bray–Moore による Ohmic 型の解析で 1980 年代前半に理解されました。Ohmic 型（環境の時間相関が $1/t^2$ で減衰する型）の結合 $\alpha$ が $1$ を超えると（トンネル $\Delta$ が小さい極限で）、2 準位系は最初にいた井戸から永久に出られなくなります。これは量子力学的なトンネル効果が、環境との結合によって完全に抑え込まれる現象で、量子ビットのデコヒーレンスの極端な場合でもあります。

数学的には、「永久に出られない」をどう定義するかが最初の問題です。有限の結合では 2 準位系は常に揺らいでいて、ハミルトニアンのレベルでは $\sigma_x$ の固有状態に局在した固有ベクトルは現れません。そこで 前章 の Feynman–Kac 表示を使い、虚時間方向の相関 $\langle\sigma_0\sigma_t\rangle$ が無限に長い時間にわたって残るかどうかで相を定義します。これは統計力学の自発磁化（長距離秩序）と同じ定義で、spin-boson 模型の局在は 1 次元の長距離 Ising 模型の相転移に翻訳されます。

この章では、まず相関不等式だけから相図の大枠（臨界結合の存在と単調性）を証明します。次に、Hilbert 空間の側の量（基底状態の存在、裸の真空との重なり、感受率）と Ising 模型の量を結びつける定理を証明します。最後に、Ohmic 型について文献で知られている結果を、何が証明されていて何が予想なのかを区別して整理します。

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