Lindblad 生成子と弱結合極限：Stinespring・GKSL 定理・Davies の van Hove 極限

0. この記事の要点

小さな量子系（たとえば 2 準位の原子）を、まわりの大きな環境（光や熱の揺らぎ）の中に置くと、何もしなくてもエネルギーを失って落ち着いていきます。この章は、そのように「まわりに少しずつ情報が漏れていく」量子系の時間変化を、どんな形の方程式で書けばよいか、そして環境との結合が弱いときになぜその方程式が現れるのかを、順に確かめます。前半では、物理的に許される操作の条件から方程式の形がひとりでに決まること、後半では、環境のことを忘れても方程式が閉じる理由を扱います。

• 量子系の状態を状態に写す物理的な操作は、補助系を付け加えても正値性を保つ完全正値（CP）写像です。Stinespring の定理により、CP 写像は「より大きな系の表現 $\pi$ を等長的に切り取ったもの」$\Phi(a)=V^*\pi(a)V$ に限られ、行列環では Choi 行列の正値性と Kraus 形 $\Phi(X)=\sum_kK_kXK_k^*$ が同値になります。
• GKSL 定理：有限次元で、$e^{t\mathcal{L}}$ がすべての $t\ge0$ で完全正値かつトレースを保つための必要十分条件は、$\mathcal{L}(\rho)=-\mathrm{i}[H,\rho]+\sum_k\bigl(L_k\rho L_k^*-\frac12\{L_k^*L_k,\rho\}\bigr)$ と書けることです。必要性の証明は、Choi 行列の $t=0$ での微分が「条件付き正値」になることから出ます。
• Davies の弱結合極限：系 $H_{\mathrm{S}}$ と浴が $\lambda A\otimes B$ で結合し、浴の相関 $h(t)=\langle B(t)B\rangle$ が可積分で多点相関がペアリング（Wick）で書けるとき、相互作用描像の縮約時間発展は $\lambda\to0$、$t=\tau/\lambda^2$ の van Hove 極限で $e^{\tau\mathcal{K}}$ に収束します。
• 極限の生成子（Davies 生成子）は $\mathcal{K}(\rho)=-\mathrm{i}[H_{\mathrm{LS}},\rho]+\sum_\omega\gamma(\omega)\bigl(A_\omega\rho A_\omega^*-\frac12\{A_\omega^*A_\omega,\rho\}\bigr)$ で、$A_\omega$ は $A$ の Bohr 周波数成分、$\gamma(\omega)=\int e^{\mathrm{i}\omega t}h(t)\,\mathrm{d}t\ge0$ です。Lindblad 形なので完全正値性は自動的で、浴が熱平衡（KMS）なら系の Gibbs 状態が定常になります。
• 証明の要は、Dyson 展開の項をペアリングで分類し、時間の対が「隣り合う」ものだけが極限に残ること（それ以外は測度 $0$ の集合に潰れる）と、異なる周波数の積が速く振動して消えること（回転波近似の厳密版）です。ペアリングで書ける浴では Dyson 級数が $\lambda$ によらない指数関数で押さえられるので、すべての $\tau\ge0$ で収束が証明できます。ここでは結合演算子 $B$ が有界な場合（フェルミオンの準自由浴がその例）を完全に証明し、非有界なボソン浴への拡張は Davies に従って述べます。

この記事で使う事前知識

• 密度行列: 量子系の状態を、確率の重ね合わせも含めて表す正値でトレース 1 の行列。→ 密度行列
• 部分トレース: 全体系の状態から、片方の系について足し上げて、もう片方の系の状態を取り出す操作。→ 部分トレース
• Lindblad 方程式: 密度行列の時間変化を、ハミルトニアンの項と散逸の項で書いた方程式。→ Lindblad 方程式
• 表現: C* 環の元を Hilbert 空間上の作用素として実現する写像。→ 表現
• Heisenberg 描像: 状態ではなく物理量の側を時間発展させる見方。→ Heisenberg 描像

1. 動機

密度行列とエンタングルメント では、Lindblad 方程式（定義 6.1［密度行列とエンタングルメント］）が完全正値な時間発展を生むこと（定理 6.3［密度行列とエンタングルメント］）を示し、逆に完全正値でトレースを保つ半群の生成子は必ずこの形になることを主張だけ述べました。この章ではその逆向き（GKSL 定理）を証明します。逆向きが重要なのは、開放量子系の Markov 的な時間発展を記述しようとすると、物理的な要請（確率の保存と、補助系とエンタングルしていても正値性が壊れないこと）だけから方程式の形が決まってしまうことを意味するからです。

しかしそれは「Markov 的なら」という条件つきの結論です。実際の開放系は、系と浴を合わせた全体のユニタリな時間発展から、浴を部分トレースで消去して得られます。その縮約された発展（部分トレースで浴の自由度を消した、系だけの発展）は一般に Markov 的ではなく、半群にもなりません。どのような極限で Lindblad 方程式が厳密に現れるのかを答えたのが Davies（1974）の弱結合極限です。結合 $\lambda$ を小さくし、同時に時間を $\lambda^{-2}$ だけ伸ばすと（van Hove 極限）、浴の記憶時間は系の緩和時間に比べて無限に短くなり、縮約された発展は半群 $e^{\tau\mathcal{K}}$ に収束します。

このテーマで扱ってきた spin-boson 模型は、この極限の典型例です。弱結合では、2 準位系は黄金律の遷移率でエネルギーを浴に失い、熱平衡に緩和します。結合が強くなると Markov 近似は破れ、第 3 章 の局在転移のような非摂動的な現象が現れます。この章は、その「弱い側の極限」を厳密に押さえる章です。

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