# Lindblad 生成子と弱結合極限：Stinespring・GKSL 定理・Davies の van Hove 極限
> 完全正値写像の Stinespring 表現と Choi–Kraus 表現を証明し、完全正値でトレースを保つ半群の生成子が必ず Lindblad 形になること（GKSL 定理）を示す。さらに系と浴の弱結合で時間を λ⁻² に伸ばす van Hove 極限を Dyson 展開とペアリングで制御し、Davies の生成子を導く。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/open-quantum-systems/lindblad-davies
## 0. この記事の要点
小さな量子系（たとえば 2 準位の原子）を、まわりの大きな環境（光や熱の揺らぎ）の中に置くと、何もしなくてもエネルギーを失って落ち着いていきます。この章は、そのように「まわりに少しずつ情報が漏れていく」量子系の時間変化を、どんな形の方程式で書けばよいか、そして環境との結合が弱いときになぜその方程式が現れるのかを、順に確かめます。前半では、物理的に許される操作の条件から方程式の形がひとりでに決まること、後半では、環境のことを忘れても方程式が閉じる理由を扱います。
- 量子系の状態を状態に写す物理的な操作は、補助系を付け加えても正値性を保つ**完全正値（CP）写像**です。Stinespring の定理により、CP 写像は「より大きな系の表現 $\pi$ を等長的に切り取ったもの」$\Phi(a)=V^*\pi(a)V$ に限られ、行列環では Choi 行列の正値性と Kraus 形 $\Phi(X)=\sum_kK_kXK_k^*$ が同値になります。
- **GKSL 定理**：有限次元で、$e^{t\mathcal{L}}$ がすべての $t\ge0$ で完全正値かつトレースを保つための必要十分条件は、$\mathcal{L}(\rho)=-\mathrm{i}[H,\rho]+\sum_k\bigl(L_k\rho L_k^*-\frac12\{L_k^*L_k,\rho\}\bigr)$ と書けることです。必要性の証明は、Choi 行列の $t=0$ での微分が「条件付き正値」になることから出ます。
- **Davies の弱結合極限**：系 $H_{\mathrm{S}}$ と浴が $\lambda A\otimes B$ で結合し、浴の相関 $h(t)=\langle B(t)B\rangle$ が可積分で多点相関がペアリング（Wick）で書けるとき、相互作用描像の縮約時間発展は $\lambda\to0$、$t=\tau/\lambda^2$ の van Hove 極限で $e^{\tau\mathcal{K}}$ に収束します。
- 極限の生成子（Davies 生成子）は $\mathcal{K}(\rho)=-\mathrm{i}[H_{\mathrm{LS}},\rho]+\sum_\omega\gamma(\omega)\bigl(A_\omega\rho A_\omega^*-\frac12\{A_\omega^*A_\omega,\rho\}\bigr)$ で、$A_\omega$ は $A$ の Bohr 周波数成分、$\gamma(\omega)=\int e^{\mathrm{i}\omega t}h(t)\,\mathrm{d}t\ge0$ です。Lindblad 形なので完全正値性は自動的で、浴が熱平衡（KMS）なら系の Gibbs 状態が定常になります。
- 証明の要は、Dyson 展開の項をペアリングで分類し、時間の対が「隣り合う」ものだけが極限に残ること（それ以外は測度 $0$ の集合に潰れる）と、異なる周波数の積が速く振動して消えること（回転波近似の厳密版）です。ペアリングで書ける浴では Dyson 級数が $\lambda$ によらない指数関数で押さえられるので、すべての $\tau\ge0$ で収束が証明できます。ここでは結合演算子 $B$ が有界な場合（フェルミオンの準自由浴がその例）を完全に証明し、非有界なボソン浴への拡張は Davies に従って述べます。
## 1. 動機
[密度行列とエンタングルメント](/physics/quantum-mechanics-2/density-matrices-entanglement) では、Lindblad 方程式（