時間発展と時間依存摂動論：描像の取り替え、Dyson 級数、Rabi 振動、断熱定理と Berry 位相

0. この記事の要点

原子に光を当てると、電子が別のエネルギー状態へ移ることがあります。外から加える力が時間とともに変わるとき、量子の状態はどう動くのでしょうか。この記事は、その問いに答える道具を一式そろえます。力が弱ければ「少しずつ補正を足す」計算で、力がゆっくり変わるなら「状態はほぼそのままついていく」という見方で、状態の動きを追えるようになります。

• ハミルトニアンが時間に依存するとき、状態の時間発展は時間発展演算子 $U(t,t_0)$ で与えられます。$H = H_0 + V(t)$ と分け、$H_0$ の自由な回転を取り除いた「相互作用描像」で見ると、$V$ だけが効く方程式になります。
• その方程式の解は Dyson 級数 $U_I = 1 + \sum_n (-i/\hbar)^n\int\cdots\int V_I\cdots V_I$ です。$V_I$ が有界なら項は $(M|t-t_0|/\hbar)^n/n!$ で抑えられ、級数は必ずノルム収束します（作用素の「大きさ」で測って、和が一つの作用素に近づくということです）。
• 二準位系に回転磁場（光）を当てる問題は回転座標系で定数係数になり、厳密に解けます。上準位への遷移確率は $\dfrac{\Omega^2}{\Omega^2+\delta^2}\sin^2\dfrac{\sqrt{\Omega^2+\delta^2}\,t}{2}$ という Rabi の公式です。
• 摂動が弱く終状態が連続スペクトルなら、遷移確率は時間に比例して増え、遷移率は $\dfrac{2\pi}{\hbar}|V_{fi}|^2\rho$（Fermi の黄金律）で与えられます。
• ハミルトニアンをゆっくり変えると、準位に重なりがない（ギャップがある）限り状態は瞬間固有状態（そのときどきのハミルトニアンの固有状態）に留まります（断熱定理）。経路を一周したあとの位相には、動的な位相のほかに、経路の幾何だけで決まる Berry 位相が残ります。

この記事で使う事前知識

• 時間に依存しない摂動論: 解ける $H_0$ に小さな $V$ を足し、$V$ の冪で固有値や固有状態を補正していく方法。→ 摂動論
• ユニタリ作用素: $U^\dagger U = 1$ を満たし、状態の長さ（確率の総和）を変えない変換。
• 作用素ノルム: 作用素が状態をどれだけ引き伸ばすかの最大値。作用素の「大きさ」の尺度。
• パウリ行列: スピン 1/2 を表す $2\times2$ のエルミート行列 $\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$。
• デルタ関数: 一点に集中した面積 1 の山。積分すると、その点での関数の値を取り出す。
• 固有値・固有ベクトル: $H|n\rangle = E_n|n\rangle$ を満たす $E_n$ と $|n\rangle$。

1. 動機：量子力学 II の見通しと、この章の位置

量子力学の 7 章で、状態・演算子・交換関係、1 次元の系、水素原子、角運動量とスピン、時間に依存しない摂動論までを一通り扱いました。そこで得た道具は、孤立した系の定常状態を調べるためのものです。エネルギー準位を求め、準位間隔からスペクトル線を説明する。これが前編（量子力学）の仕事でした。

しかし、実験室で起きることの多くは定常状態の外にあります。原子に光を当てると準位間を遷移します。粒子を標的に撃ち込むと散乱されます。2 個の電子を持つ原子では、電子を区別できないという事実が波動関数の形を縛ります。原子を磁場に入れると準位が分裂し、電子を相対論的に扱うと自然にスピンが現れます。量子力学 II は、これらをこの順に扱う 6 章です。

章	主題	中心になる結果
1（この記事）	時間発展と時間依存摂動論	Dyson 級数、Rabi 振動、Fermi の黄金律、断熱定理
2	散乱理論	Lippmann–Schwinger 方程式、部分波展開、光学定理、Breit–Wigner
3	同種粒子と多電子原子	Slater 行列式、ヘリウム、Hartree–Fock 方程式
4	電磁場中の荷電粒子	最小結合、Landau 準位、Aharonov–Bohm 効果、Wigner–Eckart の定理、微細構造
5	密度行列とエンタングルメント	部分トレース、POVM、Bell–CHSH 不等式、Lindblad 方程式
6	相対論的量子力学	Klein–Gordon 方程式、Dirac 方程式、水素原子の Dirac 解

第 1 章は、残りの章すべての土台になる時間発展の扱いを用意します。第 2 章の散乱は「長時間の遷移」、第 4 章の Zeeman 効果や Stark 効果は摂動、第 5 章の Lindblad 方程式は時間発展の開放系版です。記法は前編に合わせ、$\hbar$ を明示し、状態は $|\psi\rangle$、演算子の行列要素は $V_{fi}=\langle f|V|i\rangle$ と書きます。

この章の問いは単純です。ハミルトニアンが時間に依存するとき、状態はどう動くのか。 厳密に解ける場合は少数ですが、$H = H_0 + V(t)$ と分けて $V$ を小さく扱えば、体系的な近似が作れます。

2. 時間発展演算子と三つの描像

この章では、数学的な細部で本質を見失わないよう、$H(t)$ は有限次元ヒルベルト空間上のエルミート行列、またはノルムの意味で連続な有界自己共役作用素とします。非有界なハミルトニアン（$p^2/2m$ など）では、定義域の議論が必要になります。この記事の計算は形式的にはそのまま使えますが、証明は有界の場合に限ります。

定義 2.1（時間発展演算子）↗

$H(t)$ を時刻 $t$ について連続なエルミート作用素の族とする。作用素値の方程式

$$i\hbar\,\frac{\partial}{\partial t}U(t,t_0) = H(t)\,U(t,t_0),\qquad U(t_0,t_0) = 1$$

の解 $U(t,t_0)$ を 時間発展演算子 と呼ぶ。$H$ が時間に依存しないときは $U(t,t_0) = e^{-iH(t-t_0)/\hbar}$ である。

解の存在と一意性は次の節の 定理 3.1 で示します。これを先に使うと、シュレーディンガー方程式 （時間依存）（定義 3.1）［シュレーディンガー方程式と波動関数］ $i\hbar\,\partial_t|\psi(t)\rangle = H(t)|\psi(t)\rangle$ の解は $|\psi(t)\rangle = U(t,t_0)|\psi(t_0)\rangle$ と書けます。

命題 2.2（ユニタリ性と合成則）✓

$U(t,t_0)$ はユニタリであり、$U(t_2,t_1)U(t_1,t_0) = U(t_2,t_0)$ を満たす。

証明（命題 2.2）

方程式の随伴を取ると $-i\hbar\,\partial_tU^\dagger = U^\dagger H$ です（$H$ はエルミート）。積の微分で

$$\frac{d}{dt}\left(U^\dagger U\right) = \frac{i}{\hbar}U^\dagger H U - \frac{i}{\hbar}U^\dagger H U = 0$$

となり、$U^\dagger U$ は $t$ によらず、$t = t_0$ での値 $1$ に等しい。有限次元では $U^\dagger U = 1$ から $UU^\dagger = 1$ も従います。無限次元でも、同じ計算を $U U^\dagger$ に行い、$\partial_t U^{-1}$ が存在することから同様に示せます。合成則は、$t$ の関数 $W(t) = U(t,t_1)U(t_1,t_0)$ と $U(t,t_0)$ がどちらも同じ方程式と時刻 $t_1$ での同じ初期値 $U(t_1,t_0)$ を満たすことから、解の一意性（定理 3.1）により一致します。

∎

ユニタリ性は、確率の保存 $\langle\psi(t)|\psi(t)\rangle = \langle\psi(t_0)|\psi(t_0)\rangle$ そのものです。

2.1. Heisenberg 描像

状態を動かす代わりに演算子を動かす見方があります。

定義 2.3（Heisenberg 描像）↗

物理量 $A$（時間にあらわに依存してよい）の Heisenberg 描像 での演算子を $A_H(t) = U(t,t_0)^\dagger\,A\,U(t,t_0)$ と定める。状態は $|\psi\rangle_H = |\psi(t_0)\rangle$ に固定する。

期待値は $\langle\psi(t)|A|\psi(t)\rangle = \langle\psi(t_0)|A_H(t)|\psi(t_0)\rangle$ となり、どちらの描像でも同じです。$A_H$ の運動方程式は、$\partial_tU = -(i/\hbar)HU$ と $\partial_tU^\dagger = (i/\hbar)U^\dagger H$ から

$$\frac{d A_H}{dt} = \frac{i}{\hbar}U^\dagger [H, A] U + U^\dagger\frac{\partial A}{\partial t}U$$

です。$H$ が時間に依存せず $A$ もあらわには依存しないなら、$U$ は $H$ と交換するので $\dfrac{dA_H}{dt} = \dfrac{i}{\hbar}[H, A_H]$ と書けます。これが Heisenberg の運動方程式で、Ehrenfest の定理（定理 5.5）［シュレーディンガー方程式と波動関数］ を演算子の等式に格上げしたものです。古典力学の Poisson 括弧による時間発展（命題 8.2［ハミルトン形式の力学］）で $\{\cdot,\cdot\}$ を $\dfrac{1}{i\hbar}[\cdot,\cdot]$ に置き換えた形になっています。

2.2. 相互作用描像

$H(t) = H_0 + V(t)$ とし、$H_0$ は時間に依存せず厳密に解けるとします。$U_0(t) = e^{-iH_0(t-t_0)/\hbar}$ と置いて、自由な回転だけを取り除いた 見方を作ります。$H_0$ だけなら、各固有状態の成分は位相を速く回すだけで、その大きさ（確率）は何も変わりません。その回転を先に差し引いておけば、残る動きは $V$ が起こす変化だけになります。回る時計に乗って眺めると、時計が回る分は見えなくなる、というイメージです。

定義 2.4（相互作用描像）↗

状態と演算子を

$$|\psi_I(t)\rangle = U_0(t)^\dagger|\psi(t)\rangle,\qquad A_I(t) = U_0(t)^\dagger A\,U_0(t)$$

で定める。とくに摂動は $V_I(t) = U_0(t)^\dagger V(t)\,U_0(t)$ となる。相互作用描像の時間発展演算子を $U_I(t,t_0) = U_0(t)^\dagger U(t,t_0)$ と書く。

命題 2.5（相互作用描像の運動方程式）✓

$|\psi_I(t)\rangle$ と $U_I(t,t_0)$ は

$$i\hbar\,\frac{\partial}{\partial t}|\psi_I(t)\rangle = V_I(t)\,|\psi_I(t)\rangle,\qquad i\hbar\,\frac{\partial}{\partial t}U_I(t,t_0) = V_I(t)\,U_I(t,t_0),\quad U_I(t_0,t_0)=1$$

を満たす。

証明（命題 2.5）

$\partial_tU_0^\dagger = (i/\hbar)H_0U_0^\dagger$ なので、$U_I = U_0^\dagger U$ の積の微分で

$$i\hbar\,\partial_tU_I = i\hbar\,\frac{i}{\hbar}H_0U_0^\dagger U + U_0^\dagger(H_0+V)U = -H_0U_I + U_0^\dagger H_0 U + U_0^\dagger V U$$

です。$U_0^\dagger$ は $H_0$ と交換するので $U_0^\dagger H_0U = H_0U_0^\dagger U = H_0U_I$ となり、最初の 2 項が打ち消し合います。残りは $U_0^\dagger VU = (U_0^\dagger VU_0)(U_0^\dagger U) = V_IU_I$ です。状態についても $|\psi_I\rangle = U_I|\psi(t_0)\rangle$ から同じ式が出ます。

∎

主な利点は、$H_0$ が引き起こす速い位相回転が消え、$V_I$ だけが状態を動かすことです。$V$ が小さければ $|\psi_I\rangle$ はゆっくりしか動きません。そこで $V_I$ について逐次近似を組み立てます。

3. Dyson 級数

定理 3.1（Dyson 級数）✓

$V_I(t)$ は区間 $[t_0,t_1]$ で連続な作用素値関数で、$\|V_I(t)\|\le M$ とする。このとき方程式 $i\hbar\,\partial_tU_I = V_IU_I$、$U_I(t_0,t_0) = 1$ は $[t_0,t_1]$ 上でただ 1 つの解を持ち、それは次の級数で与えられる。

$$U_I(t,t_0) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-i}{\hbar}\right)^n\int_{t_0}^{t}\!dt_1'\int_{t_0}^{t_1'}\!dt_2'\cdots\int_{t_0}^{t_{n-1}'}\!dt_n'\;V_I(t_1')V_I(t_2')\cdots V_I(t_n')$$

級数は作用素ノルムで絶対収束し、第 $n$ 項のノルムは $\dfrac{1}{n!}\left(\dfrac{M(t-t_0)}{\hbar}\right)^n$ 以下である。

積分の順序は $t_1'>t_2'>\cdots>t_n'$ で、新しい時刻の $V_I$ が左に来る 並びになっています（これを時間順序積と呼びます）。$V_I$ どうしは一般に交換しないので、この順序は本質的です。たとえば 2 重積分の項では $t_1'>t_2'$ の範囲だけを積分し、積は $V_I(t_1')V_I(t_2')$、つまり後の時刻の $V_I$ を左に書きます。状態に作用する順番は右から左なので、「先に起きたことが右、後に起きたことが左」と読めば覚えやすくなります。

証明（定理 3.1）

方程式を積分形 $U_I(t) = 1 + \dfrac{-i}{\hbar}\displaystyle\int_{t_0}^{t}V_I(t')U_I(t')\,dt'$ に書き換えます。両辺の微分がもとの方程式で、初期条件も満たされているため、2 つは同値です。

存在。 $U^{(0)} = 1$、$U^{(n)}(t) = \dfrac{-i}{\hbar}\displaystyle\int_{t_0}^{t}V_I(t')U^{(n-1)}(t')\,dt'$ と逐次に定めます。帰納法で $\|U^{(n)}(t)\|\le \dfrac{1}{n!}\left(\dfrac{M(t-t_0)}{\hbar}\right)^n$ が示せます。実際、$n-1$ で成り立つとして

$$\|U^{(n)}(t)\|\le\frac{M}{\hbar}\int_{t_0}^{t}\frac{1}{(n-1)!}\left(\frac{M(t'-t_0)}{\hbar}\right)^{n-1}dt' = \frac{1}{n!}\left(\frac{M(t-t_0)}{\hbar}\right)^n$$

です。右辺は指数級数の項なので $\sum_n U^{(n)}$ はノルムで一様収束し、和を $U_I$ とすると、極限と積分の交換により積分形の方程式を満たします。$U^{(n)}$ を展開すれば主張の $n$ 重積分の形になります。

一意性。 2 つの解の差 $D$ は $D(t) = \dfrac{-i}{\hbar}\displaystyle\int_{t_0}^{t}V_ID\,dt'$ を満たします。$S=\sup_{[t_0,t_1]}\|D\|$ とすると、同じ帰納法で $\|D(t)\|\le S\,\dfrac{1}{n!}\left(\dfrac{M(t-t_0)}{\hbar}\right)^n$ が任意の $n$ で成り立ち、$n\to\infty$ で $D=0$ です。

∎

一般の $U(t,t_0)$ も同じ論法で存在が示せます（$H(t)$ が有界連続なら、$V_I$ の代わりに $H$ を使って同じ手順を踏むだけです）。これで 定義 2.1 の解の存在と、命題 2.2 の一意性の根拠が揃いました。

最初の数項を書き下しておきます。

$$U_I(t,t_0)\simeq 1 - \frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t}V_I(t_1)\,dt_1 - \frac{1}{\hbar^2}\int_{t_0}^{t}dt_1\int_{t_0}^{t_1}dt_2\,V_I(t_1)V_I(t_2)+\cdots$$

$n$ 次の項は「摂動が $n$ 回起きる」過程に対応します。$V_I$ が $V$ の $H_0$ による回転で、行列要素では $\langle f|V_I(t)|i\rangle = e^{i\omega_{fi}(t-t_0)}V_{fi}(t)$（$\hbar\omega_{fi} = E_f-E_i$）となる点が、以後の計算の要です。

注意 3.2

この級数は形式的に $U_I = \mathcal{T}\exp\!\left(-\dfrac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t}V_I(t')dt'\right)$ と書かれます。$\mathcal{T}$ は時間順序をそろえる記号です。$V_I(t')$ が異なる時刻で交換するなら $\mathcal{T}$ は不要で、通常の指数関数になります。交換しないことが本質的な効果（たとえば断熱定理の幾何学的位相）を生みます。

4. 二準位系と Rabi 振動

Dyson 級数が収束するといっても、級数を打ち切った近似は $V$ が小さいときにしか役に立ちません。そこで、摂動が小さくなくても厳密に解ける例を調べておきます。これは、原子・スピン・量子ビットを光（電磁波）で駆動する基本模型です。

二準位系の基底を $|\uparrow\rangle$（励起状態、エネルギー $+\hbar\omega_0/2$）、$|\downarrow\rangle$（基底状態、$-\hbar\omega_0/2$）とし、$\sigma_z$ などはスピン 1/2 の（定義 5.1）［角運動量とスピン］パウリ行列です。振動数 $\omega$ の回転する場による相互作用を

$$H(t) = \frac{\hbar\omega_0}{2}\sigma_z + \frac{\hbar\Omega}{2}\left(e^{-i\omega t}\sigma_+ + e^{i\omega t}\sigma_-\right),\qquad \sigma_+ = |\uparrow\rangle\langle\downarrow|,\ \ \sigma_- = |\downarrow\rangle\langle\uparrow|$$

とします。$\Omega>0$ は結合の強さを表す Rabi 周波数、$\delta = \omega-\omega_0$ は 離調 です。行列では $H(t) = \dfrac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}\omega_0 & \Omega e^{-i\omega t}\\ \Omega e^{i\omega t} & -\omega_0\end{pmatrix}$ です。

定理 4.1（Rabi の公式）✓

$t=0$ に $|\downarrow\rangle$ にあった系が、時刻 $t$ に $|\uparrow\rangle$ に見出される確率は

$$P_{\uparrow}(t) = \frac{\Omega^2}{\Omega^2+\delta^2}\,\sin^2\!\left(\frac{\sqrt{\Omega^2+\delta^2}}{2}\,t\right)$$

である。

証明の方針は、場と同じ速さで回る座標系に乗り換えることです。その座標系では、時間に依存していた $H(t)$ が時間によらない行列に変わります。時間によらない行列の指数関数は具体的に書けるので、状態が厳密に求まります。

証明（定理 4.1）

回転座標系へ。 $|\psi(t)\rangle = e^{-i\omega t\sigma_z/2}|\varphi(t)\rangle$ と置きます。$\sigma_z\sigma_+ = \sigma_+$、$\sigma_+\sigma_z = -\sigma_+$ より $e^{i\theta\sigma_z/2}\sigma_+e^{-i\theta\sigma_z/2} = e^{i\theta}\sigma_+$（$\sigma_-$ は $e^{-i\theta}$ 倍）です。$|\psi\rangle$ をシュレーディンガー方程式に入れると

$$i\hbar\,\partial_t|\varphi\rangle = \left[e^{i\omega t\sigma_z/2}H(t)e^{-i\omega t\sigma_z/2} - \frac{\hbar\omega}{2}\sigma_z\right]|\varphi\rangle$$

であり、括弧の中で $e^{\mp i\omega t}$ と $e^{\pm i\omega t}$ が打ち消し合って時間に依存しなくなります。

$$H_{\mathrm{rot}} = \frac{\hbar}{2}\left(-\delta\,\sigma_z + \Omega\,\sigma_x\right) = \frac{\hbar W}{2}\,\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\sigma},\qquad W = \sqrt{\Omega^2+\delta^2},\quad \boldsymbol{n} = \frac{(\Omega,0,-\delta)}{W}$$

時間発展。 命題 5.2［角運動量とスピン］ より $(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})^2 = 1$ なので、指数関数は

$$e^{-iH_{\mathrm{rot}}t/\hbar} = \cos\frac{Wt}{2} - i\,(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})\sin\frac{Wt}{2}$$

です。初期状態 $|\varphi(0)\rangle = |\psi(0)\rangle = |\downarrow\rangle$ に作用させ、$\langle\uparrow|\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}|\downarrow\rangle = n_x - in_y = \Omega/W$（$\langle\uparrow|\sigma_z|\downarrow\rangle = 0$）を使うと

$$\langle\uparrow|\varphi(t)\rangle = -i\,\frac{\Omega}{W}\sin\frac{Wt}{2}$$

です。回転 $e^{-i\omega t\sigma_z/2}$ は $|\uparrow\rangle$ の成分に位相しか掛けないので、$|\langle\uparrow|\psi(t)\rangle|^2 = |\langle\uparrow|\varphi(t)\rangle|^2$ となり、主張を得ます。

∎

Rabi 振動。横軸は時間 Ωt、縦軸は上準位にいる確率。共鳴（δ=0）では確率が 1 まで振れ、離調があると振幅が Ω²/(Ω²+δ²) に下がって振動が速くなる

例 4.2（π パルスと量子ビットの反転）

共鳴（$\delta=0$）では $P_\uparrow = \sin^2(\Omega t/2)$ です。$\Omega t=\pi$ の時間だけ場を当てると $P_\uparrow=1$ となり、$|\downarrow\rangle$ が完全に $|\uparrow\rangle$ に反転します。これを $\pi$ パルス と呼びます。$\Omega t=\pi/2$ なら $P_\uparrow=1/2$ で、等しい重ね合わせ状態ができます（$\pi/2$ パルス）。たとえば $\Omega/2\pi=1\ \mathrm{MHz}$ なら $\pi$ パルスの長さは $t=\pi/\Omega=0.5\ \mu\mathrm{s}$ です。離調があると、反転は完全にはならず、確率は最大でも $\Omega^2/(\Omega^2+\delta^2)$ にとどまります。この共鳴曲線の幅（$|\delta|\lesssim\Omega$）が、共鳴の選択性を決めています。

注意 4.3

現実の電磁波は回転場ではなく直線偏光 $\Omega\cos(\omega t)\,\sigma_x$ です。これを $\cos\omega t = (e^{i\omega t}+e^{-i\omega t})/2$ と分けると、上の回転場に加えて、逆向きに回る成分 $e^{i\omega t}\sigma_+ + e^{-i\omega t}\sigma_-$ が残ります。逆回り成分は回転座標系で $e^{\pm 2i\omega t}$ のように速く振動し、その 1 次の Dyson 項は振幅が $\Omega/(\omega+\omega_0)$ 程度にしかなりません。$\Omega\ll\omega_0$ の光学遷移では無視でき、この近似を 回転波近似 と呼びます。無視した項の効果は、共鳴周波数がわずかにずれる Bloch–Siegert シフトとして現れます。

5. Fermi の黄金律

終状態が離散的な 2 準位であれば、遷移確率は Rabi 振動のように振動します。ところが終状態が連続的に分布していると（自由粒子、光子の放出、イオン化）、確率は 時間に比例して増え続け、単位時間あたりの遷移率が定義できるようになります。

5.1. 1 次の遷移確率

$H = H_0+V(t)$、$H_0|n\rangle = E_n|n\rangle$ とし、$t=0$ に固有状態 $|i\rangle$ にあった系が時刻 $t$ に $|f\rangle$（$f\ne i$）に見出される確率を $P_{i\to f}(t)$ とします。$|\langle f|\psi(t)\rangle|=|\langle f|U_0\,|\psi_I(t)\rangle|=|\langle f|\psi_I(t)\rangle|$ なので、$P_{i\to f}(t) = |\langle f|U_I(t,0)|i\rangle|^2$ です。定理 3.1 の 1 次の項だけを取ると、次の結果になります。

命題 5.1（1 次の遷移確率）✓

$V(t)$ の行列要素 $V_{fi}(t) = \langle f|V(t)|i\rangle$ について、$\omega_{fi} = (E_f-E_i)/\hbar$ とすると

$$P_{i\to f}(t) = \frac{1}{\hbar^2}\left|\int_0^{t}V_{fi}(t')\,e^{i\omega_{fi}t'}\,dt'\right|^2 + O(V^3)$$

が成り立つ。ここで $O(V^3)$ は $\|V\|$ の 3 乗の程度の誤差を表す。

証明（命題 5.1）

定理 3.1 より $\langle f|U_I|i\rangle = \langle f|i\rangle - \dfrac{i}{\hbar}\displaystyle\int_0^t\langle f|V_I(t')|i\rangle dt' + R_2$ で、$\langle f|i\rangle=0$ です。$\langle f|V_I(t')|i\rangle = e^{i\omega_{fi}t'}V_{fi}(t')$ を代入すると、1 次の項 $B_1$ は主張の被積分関数になります。剰余 $R_2$ のノルムは 定理 3.1 の評価から $O(V^2)$ なので、確率では $|B_1+R_2|^2 = |B_1|^2 + O(V^3)$ です。

∎

例 5.2（一定の摂動を入れた場合）

$V(t) = V$（$t\ge0$ で一定）とすると、$\displaystyle\int_0^te^{i\omega_{fi}t'}dt' = \dfrac{e^{i\omega_{fi}t}-1}{i\omega_{fi}}$ なので

$$P_{i\to f}(t) = \frac{|V_{fi}|^2}{\hbar^2}\,\frac{\sin^2(\omega_{fi}t/2)}{(\omega_{fi}/2)^2} \equiv \frac{|V_{fi}|^2}{\hbar^2}\,K_t(\omega_{fi})$$

です。$\omega_{fi}=0$ の近傍で $K_t\to t^2$（時間の 2 乗で成長）、それ以外では有界に振動します。幅 $\sim 2\pi/t$、高さ $t^2$ の鋭いピークが、時間とともに $\omega_{fi}=0$ に向けて集まっていきます。

時間 $t$ を増やしたときに $K_t$ がどう変わるかを、面積 $2\pi t$ で割って（面積を 1 にそろえて）動かして見ます。ピークが高く細くなり、原点に集まっていきます。

核関数 $K_t({\omega }_{fi})/(2\pi t)$ の時間変化（$t=1$ から $20$）。面積は常に 1 のまま、高さ $t/(2\pi )$ のピークが原点に集まる

5.2. 連続スペクトルへの遷移

核心は、このピークの面積が $t$ に比例する、という事実です。ピークの高さは $t^2$、幅は $1/t$ のオーダーなので、面積は高さと幅の積でおよそ $t$ になります。次の補題はこの見積りを正確な等式にし、時間が経つほど $K_t$ が原点に集中した山（デルタ関数）のように振る舞うことを述べます。

補題 5.3（遷移の核関数）✓

$K_t(\omega) = \dfrac{\sin^2(\omega t/2)}{(\omega/2)^2}$ について $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}K_t(\omega)\,d\omega = 2\pi t$ であり、有界連続な関数 $g$ に対して

$$\lim_{t\to\infty}\frac{1}{2\pi t}\int_{-\infty}^{\infty}g(\omega)K_t(\omega)\,d\omega = g(0)$$

が成り立つ。

証明（補題 5.3）

$\omega = 2u/t$ と置くと、$K_t(\omega) = t^2\dfrac{\sin^2u}{u^2}$、$d\omega = \dfrac{2}{t}du$ です。よって

$$\frac{1}{2\pi t}\int g(\omega)K_t(\omega)\,d\omega = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}g\!\left(\frac{2u}{t}\right)\frac{\sin^2u}{u^2}\,du$$

です。$g\equiv1$ のときは $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin^2u}{u^2}du = \pi$ です。実際、$f=\mathbf 1_{[-1,1]}$ の Fourier 変換は $\hat f(u)=\int_{-1}^1e^{-iux}dx=\dfrac{2\sin u}{u}$ で、Plancherel の定理（定理 4.1［ℝⁿ 上のフーリエ変換］ の 1、$\|\hat f\|_2^2=2\pi\|f\|_2^2$）から $\displaystyle\int\frac{4\sin^2u}{u^2}du=2\pi\cdot2$ です。したがって前半の主張 $\int K_t = 2\pi t$ を得ます。後半は、被積分関数が $\|g\|_\infty\,\sin^2u/u^2$（可積分）で抑えられ、各点で $g(2u/t)\to g(0)$ なので、優収束定理により極限は $g(0)\cdot\dfrac{1}{\pi}\cdot\pi = g(0)$ です。

∎

この補題は、$K_t(\omega)/2\pi t\to\delta(\omega)$ と読めます。

定理 5.4（Fermi の黄金律）✓

$V$ は時間に依存しない摂動とする。終状態は連続なエネルギー $E$ でラベルされ、$\rho(E)$ を状態数の密度（単位エネルギーあたりの状態数）とする。関数 $g(\omega)=\rho(E_i+\hbar\omega)\,|V_{fi}|^2$ が有界連続（かつ可積分的に減衰し、和が $\int$ で近似できる）ならば、1 次の遷移確率を終状態について足し合わせた $P_{i\to\mathrm{cont}}(t)$ は

$$\lim_{t\to\infty}\frac{P_{i\to\mathrm{cont}}(t)}{t}=\Gamma,\qquad \Gamma = \frac{2\pi}{\hbar}\,|V_{fi}|^2\,\rho(E_f)\Big|_{E_f=E_i}$$

を満たす。$\Gamma$ を 遷移率 と呼ぶ。

証明（定理 5.4）

$V$ が一定なら $\int_0^te^{i\omega t'}dt'=\frac{e^{i\omega t}-1}{i\omega}$ で、$|e^{i\omega t}-1|^2=4\sin^2(\omega t/2)$ なので、命題 5.1 から 1 次の遷移確率は $P_{i\to f}(t)=\frac{|V_{fi}|^2}{\hbar^2}K_t(\omega_{fi})$（$K_t$ は 補題 5.3 の関数）です。これを終状態について足し、$\sum_f\to\int\rho(E)dE$ とします。$E = E_i+\hbar\omega$ と置いて $dE=\hbar\,d\omega$ とすると、

$$P_{i\to\mathrm{cont}}(t) = \int\rho(E)\,\frac{|V_{fi}|^2}{\hbar^2}K_t\!\left(\frac{E-E_i}{\hbar}\right)dE = \frac{1}{\hbar}\int g(\omega)\,K_t(\omega)\,d\omega$$

です。補題 5.3 により $\dfrac{1}{2\pi t}\displaystyle\int gK_t\,d\omega\to g(0)$ なので、$P_{i\to\mathrm{cont}}(t)/t\to\dfrac{2\pi}{\hbar}g(0)=\dfrac{2\pi}{\hbar}|V_{fi}|^2\rho(E_i)$ です。

∎

適用範囲に注意が要ります。ピークの幅 $2\pi/t$ が、$|V_{fi}|^2\rho$ が変化するエネルギー幅よりも十分狭くなるには $t$ が大きい必要があります（$t\gg\hbar/\Delta E$）。一方、$\Gamma t\ll1$ でなければ 1 次の近似自体が破綻します。つまり黄金律は $\hbar/\Delta E\ll t\ll1/\Gamma$ の中間の時間で成り立つ、と覚えておきます。

例 5.5（黄金律から Born 近似を導く）

体積 $L^3$ の箱の中の自由粒子（質量 $m$）が、短距離ポテンシャル $V(\boldsymbol{r})$ によって平面波 $|\boldsymbol{k}\rangle=e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}/L^{3/2}$ から $|\boldsymbol{k}'\rangle$ へ散乱される過程を考えます。行列要素は $V_{\boldsymbol{k}'\boldsymbol{k}} = \tilde V(\boldsymbol{q})/L^3$、$\boldsymbol{q}=\boldsymbol{k}'-\boldsymbol{k}$、$\tilde V(\boldsymbol{q})=\int e^{-i\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{r}}V(\boldsymbol{r})\,d^3r$ です。立体角 $d\Omega$ の中の終状態の密度は、波数空間で $(L/2\pi)^3k^2dk\,d\Omega$ と $E=\hbar^2k^2/2m$ から $\rho\,d\Omega = (L/2\pi)^3\,(mk/\hbar^2)\,d\Omega$ です。入射流束は（速さ）/（体積）$=\hbar k/(mL^3)$ なので、黄金律の遷移率を入射流束で割った微分断面積は

$$\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{2\pi}{\hbar}\frac{|\tilde V(\boldsymbol{q})|^2}{L^6}\left(\frac{L}{2\pi}\right)^3\frac{mk}{\hbar^2}\cdot\frac{mL^3}{\hbar k} = \left(\frac{m}{2\pi\hbar^2}\right)^2\left|\tilde V(\boldsymbol{q})\right|^2$$

です。箱の大きさ $L$ は消えました。これは 散乱理論で定常的に導く Born 近似と同じものです。

6. 断熱定理と Berry 位相

最後に、摂動が小さいのではなく ゆっくり 変化する場合を考えます。パラメータを時間 $T$ をかけて動かすとき、$T\to\infty$ の極限で何が起きるでしょうか。

6.1. 設定と瞬間固有状態

$s=t/T\in[0,1]$ を導入し、$N$ 次元のエルミート行列の族 $H(s)$ を考えます。これが $s$ について無限回微分可能で、すべての $s$ で $N$ 個の固有値 $E_1(s)<\cdots<E_N(s)$ がすべて単純（縮退なし）とし、隣り合う固有値の最小間隔を $g>0$ とします。固有値が単純で孤立していることから、固有値 $E_n(s)$ と、その固有射影 $P_n(s)$ は $s$ について滑らかです（リース射影 $P_n=\frac{1}{2\pi i}\oint(z-H)^{-1}dz$ の積分路を局所的に固定できるため）。シュレーディンガー方程式は

$$\frac{i\hbar}{T}\frac{d}{ds}|\psi(s)\rangle = H(s)\,|\psi(s)\rangle$$

です。固有ベクトルは位相の自由度（$e^{i\chi}$ 倍）を持つので、$s$ を動かしても途切れないように位相を選ぶ必要があります。次の補題は、位相が「余計に回らない」ように動かしていく選び方を与え、あとの証明で $\langle n|n'\rangle=0$ が使えるようにします。次の選び方が便利です。

補題 6.1（平行移動の位相の選び方）✓

$P=P_n(s)$ とし、$A(s)=[P'(s),P(s)]$ を係数とする方程式 $U_K'(s)=A(s)U_K(s)$、$U_K(0)=1$ の解 $U_K(s)$ はユニタリで、$P(s)U_K(s)=U_K(s)P(0)$ を満たす。したがって $|n(s)\rangle := U_K(s)|n(0)\rangle$（$|n(0)\rangle$ は $E_n(0)$ の固有ベクトル）は $H(s)|n(s)\rangle=E_n(s)|n(s)\rangle$ を満たす滑らかな規格化ベクトルであり、 $\langle n(s)|n'(s)\rangle=0$ が成り立つ。

証明（補題 6.1）

$A^\dagger=[P,P']=-A$（$P,P'$ はエルミート）なので、$U_K$ はユニタリです（$(U_K^\dagger U_K)'=U_K^\dagger(A^\dagger+A)U_K=0$）。$P^2=P$ を微分して $P'P+PP'=P'$ を得て、これに左右から $P$ を掛けると $PP'P=0$ です。したがって

$$[A,P] = (P'P-PP')P - P(P'P-PP') = P'P - PP'P - PP'P + PP' = P'$$

です。一方、$Q(s)=U_K(s)P(0)U_K(s)^{-1}$ は $Q'=AQ-QA=[A,Q]$、$Q(0)=P(0)$ を満たし、$P(s)$ も $P'=[A,P]$ と同じ初期値を満たします。線形方程式 $X'=[A,X]$ の解は一意なので $Q=P$ で、前半の主張を得ます。$|n(s)\rangle=U_K|n(0)\rangle$ は $P(s)$ の像に入り、$H(s)$ の固有ベクトルになります。最後に $|n'\rangle=A|n\rangle=P'|n\rangle-PP'|n\rangle$（$P|n\rangle=|n\rangle$ を使った）で、$\langle n|n'\rangle=\langle n|P'|n\rangle-\langle n|P'|n\rangle=0$ です。

∎

各 $n$ について $|n(s)\rangle$ を構成すると、相異なる固有値の固有ベクトルは直交するので、各 $s$ で正規直交基底 $\{|n(s)\rangle\}$ が得られます。$H|k\rangle=E_k|k\rangle$ を $s$ で微分して $\langle m|$ をかけると、$m\ne k$ について

$$\langle m|k'\rangle = \frac{\langle m|H'|k\rangle}{E_k-E_m}\qquad(m\ne k)$$

が従います（$\langle m|H|k'\rangle=E_m\langle m|k'\rangle$ を使う）。

6.2. 断熱定理

定理 6.2（断熱定理）✓

上の設定で、$|\psi(0)\rangle=|n(0)\rangle$ から出発した解 $|\psi(s)\rangle$ について、$T$ によらない定数 $C$ があって

$$\Bigl\|\,|\psi(1)\rangle - e^{-i\theta_n(T)}\,|n(1)\rangle\Bigr\|\le\frac{C}{T},\qquad \theta_n(T) = \frac{T}{\hbar}\int_0^1E_n(s)\,ds$$

が成り立つ。すなわち、状態は $n$ 番目の瞬間固有状態に（動的な位相 $\theta_n$ を除いて）$O(1/T)$ の精度で留まる。ここで $|n(1)\rangle=U_K(1)|n(0)\rangle$ である。

証明の方針を先に述べます。他の準位への漏れ出しの大きさ $a_m$ は、速く振動する因子 $e^{iT\phi}$ を含む積分で書けます。振動が速いと正負が打ち消し合うので、部分積分で $1/T$ の因子が出ます。このとき、準位の間隔が開いている（ギャップ $g>0$）ことで、振動の速さが 0 にならず、部分積分が使えます。

証明（定理 6.2）

$\Theta_k(s)=\dfrac{1}{\hbar}\displaystyle\int_0^sE_k$ とし、解を $|\psi(s)\rangle=\sum_ka_k(s)\,e^{-iT\Theta_k(s)}|k(s)\rangle$ と展開します。ユニタリ性から $\sum_k|a_k|^2=1$ で、とくに $|a_k|\le1$ です。方程式に入れると、$\hbar\Theta_k'=E_k$ により $E_k$ の項が両辺で打ち消し合い、

$$\sum_k\left(a_k'|k\rangle+a_k|k'\rangle\right)e^{-iT\Theta_k}=0$$

が残ります。$\langle m|$ をかけ、$\langle m|m'\rangle=0$（補題 6.1）を使うと

$$a_m'(s)=-\sum_{k\ne m}a_k(s)\,c_{mk}(s)\,e^{iT(\Theta_m-\Theta_k)(s)},\qquad c_{mk}=\langle m|k'\rangle=\frac{\langle m|H'|k\rangle}{E_k-E_m}$$

です。$c_{mk}$ は滑らかで、$[0,1]$ 上で有界、導関数も有界です。右辺で $|a_k|\le1$ だから $|a_m'|\le C_1$（$T$ によらない）で、$a_m$ も $a_m'$ も $T$ に無関係な定数で抑えられます。

$m\ne n$ について $a_m(0)=0$ から $a_m(1)=-\sum_{k\ne m}\int_0^1h_k\,e^{iT\phi_k}ds$、ただし $h_k=a_kc_{mk}$、$\phi_k=\Theta_m-\Theta_k$ とします。$\phi_k'=(E_m-E_k)/\hbar$ の絶対値は $g/\hbar$ 以上で、符号を変えません。部分積分で

$$\int_0^1h_k\,e^{iT\phi_k}ds=\left[\frac{h_k\,e^{iT\phi_k}}{iT\phi_k'}\right]_0^1-\frac{1}{iT}\int_0^1\left(\frac{h_k}{\phi_k'}\right)'e^{iT\phi_k}ds$$

となり、右辺は $h_k,h_k',\phi_k'^{-1},\phi_k''$ が $T$ に依らず有界なので $O(1/T)$ です。$m=n$ も同様で、$a_n(0)=1$ から $|a_n(1)-1|=O(1/T)$ を得ます。したがって

$$\Bigl\|\,|\psi(1)\rangle-e^{-iT\Theta_n(1)}|n(1)\rangle\Bigr\|\le|a_n(1)-1|+\sum_{m\ne n}|a_m(1)|\le\frac{C}{T}$$

です（$\theta_n(T)=T\Theta_n(1)$）。

∎

仮定のうち、ギャップ $g>0$ が決定的です。ギャップが閉じる点（準位の交差）では $\phi_k'$ が $0$ になり、部分積分が破綻して、状態は他の準位へ漏れます。

6.3. Berry 位相

$H(1)=H(0)$ となるように、パラメータを閉じた道に沿って動かします。$|n(1)\rangle=U_K(1)|n(0)\rangle$ は $P_n(1)=P_n(0)$ の像に入るので、$|n(1)\rangle=e^{i\gamma_n}|n(0)\rangle$ と書け、位相 $\gamma_n$ は実数です。

定義 6.3（Berry 位相）↗

上の $\gamma_n$（$2\pi$ の整数倍を除いて定まる）を、閉じた道に沿った $n$ 番目の固有状態の Berry 位相 と呼ぶ。

命題 6.4（Berry 位相の公式）✓

$|\tilde n(s)\rangle$ を $|\tilde n(1)\rangle=|\tilde n(0)\rangle$ を満たす、$E_n(s)$ の滑らかな規格化固有ベクトルとする。このとき

$$\gamma_n\equiv i\int_0^1\langle\tilde n(s)|\tilde n'(s)\rangle\,ds\pmod{2\pi}$$

であり、右辺の実数性（$\langle\tilde n|\tilde n'\rangle$ が純虚数であること）と、$|\tilde n\rangle$ の選び方によらないことが従う。

証明（命題 6.4）

$|\tilde n(s)\rangle=e^{i\chi(s)}|n(s)\rangle$（$\chi$ は滑らか）と書けます。補題 6.1 の $\langle n|n'\rangle=0$ より $\langle\tilde n|\tilde n'\rangle=i\chi'$ で、$\langle\tilde n|\tilde n\rangle=1$ の微分から実部が $0$ という事実とも整合します。右辺は $i\int_0^1(i\chi')ds=-(\chi(1)-\chi(0))$ です。一方、閉じた条件 $e^{i\chi(1)}|n(1)\rangle=e^{i\chi(0)}|n(0)\rangle$ に $|n(1)\rangle=e^{i\gamma_n}|n(0)\rangle$ を入れると $\chi(1)+\gamma_n\equiv\chi(0)$ で、$\gamma_n\equiv\chi(0)-\chi(1)$ です。

∎

定理 6.5（断熱周回後の位相）✓

定理 6.2 の設定で $H(1)=H(0)$ とすると、$T\to\infty$ で $|\psi(T)\rangle$ は $e^{-i\theta_n(T)}e^{i\gamma_n}|n(0)\rangle$ に（$O(1/T)$ のノルムで）近づく。つまり位相は動的位相 $\theta_n(T)$（$T$ に比例して増える）と Berry 位相 $\gamma_n$（$T$ によらない）の和である。

証明（定理 6.5）

定理 6.2 に $|n(1)\rangle=e^{i\gamma_n}|n(0)\rangle$ を代入するだけです。

∎

例 6.6（回る磁場の中のスピン 1/2）

$H(s)=\dfrac{\hbar\omega_0}{2}\,\boldsymbol{n}(s)\cdot\boldsymbol{\sigma}$、$\boldsymbol{n}(s)=(\sin\theta\cos\varphi,\ \sin\theta\sin\varphi,\ \cos\theta)$、$\varphi=2\pi s$（磁場の向きが円錐上を 1 周）とします。エネルギー $+\hbar\omega_0/2$ の固有ベクトルは

$$|+;\boldsymbol{n}\rangle=\begin{pmatrix}\cos(\theta/2)\\ e^{i\varphi}\sin(\theta/2)\end{pmatrix}$$

です（$\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\,e^{-i\varphi}\\ \sin\theta\,e^{i\varphi}&-\cos\theta\end{pmatrix}$ を掛けて確かめる）。$\varphi\to\varphi+2\pi$ で元に戻るので、命題 6.4 がそのまま使えます。$\langle+|\partial_\varphi+\rangle=i\sin^2(\theta/2)$ より

$$\gamma_+=i\int_0^{2\pi}i\sin^2\frac{\theta}{2}\,d\varphi=-2\pi\sin^2\frac{\theta}{2}=-\pi(1-\cos\theta)=-\frac{\Omega_{\mathrm{sol}}}{2}$$

で、$\Omega_{\mathrm{sol}}=2\pi(1-\cos\theta)$ は円錐が単位球面上に切り取る立体角です。エネルギー $-\hbar\omega_0/2$ の状態では $\gamma_-=+\Omega_{\mathrm{sol}}/2$ です。位相は磁場がたどる道の 立体角だけで決まり、回る速さ $T$ にも $\omega_0$ にも依りません。$\theta=\pi/2$（赤道）では $\gamma_+=-\pi$ で、状態が $-1$ 倍になります。

注意 6.7

Berry 位相は、パラメータ空間での「平行移動」で生じる位相のずれ、すなわち曲面上のベクトルを一周させたときに向きが変わる現象と同じ構造を持ちます。磁束がゼロの領域を回っても位相が残る Aharonov–Bohm 効果 も、同じ形の公式 $\oint\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{l}$ で書けます。そこでは $\boldsymbol{A}$ が電磁ポテンシャル、ここでは $i\langle n|\nabla n\rangle$ が「Berry 接続」にあたります。

7. 演習

演習 7.1易

共鳴する光 $\delta=0$ で $\Omega/2\pi=5\ \mathrm{kHz}$ のとき、原子を基底状態から励起状態へ完全に移す $\pi$ パルスの長さを求めよ。また同じ長さのパルスを離調 $\delta=\Omega$ で当てると、励起状態にいる確率はいくらか。

解答

$\Omega=2\pi\times5\times10^3\ \mathrm{s^{-1}}$、$\pi$ パルスは $\Omega t=\pi$ より $t=\pi/\Omega=1/(2\times5\times10^3)=1.0\times10^{-4}\ \mathrm{s}$（$100\ \mu\mathrm{s}$）です。離調 $\delta=\Omega$ では $W=\sqrt2\,\Omega$、$\Omega^2/W^2=1/2$ なので、定理 4.1 より $P_\uparrow=\dfrac12\sin^2\!\left(\dfrac{\sqrt2\,\pi}{2}\right)=\dfrac12\sin^2(2.221)$。$\sin(2.221)=0.7955$ から $P_\uparrow\simeq0.316$ です。離調によって、共鳴時の完全反転は実現できなくなります。

演習 7.2標準

$H_0$ の固有状態 $|i\rangle$ に、$V(t)=V_0\,e^{-t^2/\tau^2}$（$V_0$ は $t$ に依存しない演算子、$-\infty<t<\infty$）という摂動を加える。$t\to\infty$ における $|f\rangle$（$f\ne i$）への 1 次の遷移確率を求めよ。$\omega_{fi}\tau\gg1$ のとき確率はどうなるか。

解答

命題 5.1 で積分範囲を $(-\infty,\infty)$ にして、ガウス積分 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2/\tau^2}e^{i\omega t}dt=\sqrt\pi\,\tau\,e^{-\omega^2\tau^2/4}$ を使います。

$$P_{i\to f}=\frac{|\langle f|V_0|i\rangle|^2}{\hbar^2}\,\pi\tau^2\,e^{-\omega_{fi}^2\tau^2/2}$$

です。$\omega_{fi}\tau\gg1$ では指数関数的に小さくなります。摂動が準位間隔 $\hbar\omega_{fi}$ に比べてゆっくり動く（$\tau\gg1/\omega_{fi}$）と、遷移がほとんど起きない、という断熱性の最初の現れです。

演習 7.3標準

例 6.6 で磁場が円錐の半頂角 $\theta$ を一定にして 1 周するとき、動的位相と Berry 位相をあわせた断熱周回後の位相（$|+\rangle$ について）を、周期 $T$ の関数として求めよ。$\theta\to0$ の極限で何が起きるか。

解答

動的位相は $-\theta_+(T)$、$\theta_+(T)=\dfrac{T}{\hbar}\cdot\dfrac{\hbar\omega_0}{2}=\dfrac{\omega_0T}{2}$ です。Berry 位相は $\gamma_+=-\pi(1-\cos\theta)$ です。定理 6.5 により、周回後の状態は $\exp\!\left[-\dfrac{i\omega_0T}{2}-i\pi(1-\cos\theta)\right]|+;\boldsymbol{n}(0)\rangle$ に近づきます。$\theta\to0$ では磁場の向きがほとんど動かない（道が 1 点につぶれる）ので $\gamma_+\to0$ となり、動的位相だけが残ります。これは立体角が $0$ になる事実と整合しています。

参考文献

• J. J. Sakurai, J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics, 3rd ed., Cambridge University Press, 2020 — 時間発展と描像、時間依存摂動論（Dyson 級数、黄金律）の章。
• D. J. Griffiths, D. F. Schroeter, Introduction to Quantum Mechanics, 3rd ed., Cambridge University Press, 2018 — 時間依存摂動論、断熱近似の章。
• F. J. Dyson, “The Radiation Theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman”, Phys. Rev. 75 (1949), 486. 時間順序積による展開の原典。
• I. I. Rabi, “Space Quantization in a Gyrating Magnetic Field”, Phys. Rev. 51 (1937), 652. Rabi の公式の原典。
• T. Kato, “On the Adiabatic Theorem of Quantum Mechanics”, J. Phys. Soc. Japan 5 (1950), 435. 断熱定理の数学的証明。
• M. V. Berry, “Quantal Phase Factors Accompanying Adiabatic Changes”, Proc. R. Soc. Lond. A 392 (1984), 45.