物理学 › 量子力学 II › 時間発展と時間依存摂動論

Dyson 級数

定理 3.1（「時間発展と時間依存摂動論」§3） ・ ✓公理まで証明済み

VI(t)V_I(t) は区間 [t0,t1][t_0,t_1] で連続な作用素値関数で、∥VI(t)∥≤M\|V_I(t)\|\le M とする。このとき方程式 iℏ ∂tUI=VIUIi\hbar\,\partial_tU_I = V_IU_I、UI(t0,t0)=1U_I(t_0,t_0) = 1 は [t0,t1][t_0,t_1] 上でただ 1 つの解を持ち、それは次の級数で与えられる。

UI(t,t0)=1+∑n=1∞(−iℏ)n∫t0t ⁣dt1′∫t0t1′ ⁣dt2′⋯∫t0tn−1′ ⁣dtn′  VI(t1′)VI(t2′)⋯VI(tn′)U_I(t,t_0) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-i}{\hbar}\right)^n\int_{t_0}^{t}\!dt_1'\int_{t_0}^{t_1'}\!dt_2'\cdots\int_{t_0}^{t_{n-1}'}\!dt_n'\;V_I(t_1')V_I(t_2')\cdots V_I(t_n')

級数は作用素ノルムで絶対収束し、第 nn 項のノルムは 1n!(M(t−t0)ℏ)n\dfrac{1}{n!}\left(\dfrac{M(t-t_0)}{\hbar}\right)^n 以下である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

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