# spin-boson 模型の Feynman–Kac 表示：跳び過程・連続時間 Ising 模型・相関不等式
> spin-boson 模型の熱半群を、スピン反転の跳び過程と Euclid 場による Feynman–Kac–Nelson 公式で表す。場を積分すると連続時間の長距離 Ising 模型が現れ、格子近似を通して Griffiths（GKS）と FKG の不等式がそのまま移植できることを証明する。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/open-quantum-systems/feynman-kac-jump-processes
## 0. この記事の要点
この章は、「二つの状態のあいだを行き来する小さな系が、まわりの場（熱浴）と触れ合うとき、何が起きるか」を、確率の言葉で数えなおす章です。時間を軸にして、小さな系が上向きと下向きのあいだをランダムに跳ぶ様子を一本の経路と見ると、全体は一次元に並んだ磁石の模型（Ising 模型）と同じ形になります。読み終えると、磁石の模型で知られている「結合を強めると相関が増える」という性質を、量子系の性質として引き出せるようになります。
- spin-boson 模型 $H=\frac\varepsilon2\sigma_z+H_{\mathrm{b}}+\lambda\sigma_x\otimes\Phi_{\mathrm{S}}(v)$ は、$\varepsilon=-2\Delta\le0$ と取れば（符号は $\sigma_x$ の共役で変えられる）、$\sigma_x$ を対角にした Q 空間表示で $e^{-tH}$ が正値性を保ちます。2 準位の部分は強度 $\Delta$ のスピン反転の跳び過程 $\sigma_t=\sigma_0(-1)^{N_t}$ に、ボソンの部分は [Euclid 場](/physics/constructive-qft/feynman-kac-field-models#def-euclidean-field) $\xi_t$ になります。
- **Feynman–Kac–Nelson 公式**：$\langle\Phi,e^{-TH}\Psi\rangle=e^{\Delta T}\sum_\sigma\mathbb{E}^\sigma\bigl[\int\overline{J_0\Phi(\sigma_0)}\,e^{-\lambda\int_0^T\sigma_s\xi_s(v)\mathrm{d}s}J_T\Psi(\sigma_T)\,\mathrm{d}\mu_{\mathrm{E}}\bigr]$。途中の時刻に $\sigma_x$ を挟んでも同じ形で成り立ちます。
- 場をガウス積分すると、真空の行列要素は**連続時間 Ising 模型**の分配関数 $\mathbb{E}\bigl[\exp\int_0^T\!\int_0^T\sigma_s\sigma_tW(t-s)\,\mathrm{d}s\,\mathrm{d}t\bigr]$ になります。$W\ge0$ なのでこれは強磁性で、相互作用の到達距離は浴のスペクトル密度の低周波数側で決まり、Ohmic 型では $1/t^2$ です。
- 時間を刻み幅 $\tau$ で離散化すると、跳び過程は最近接結合 $K_\tau=\frac12\log\coth(\Delta\tau)$ に、場の相互作用は長距離結合 $2\tau^2W$ になり、すべて非負の結合を持つ通常の Ising 模型が得られます。
- その結果、Griffiths の第 1・第 2 不等式（相関の非負性と結合・体積についての単調性）と FKG 不等式が連続時間模型でも成り立ちます。たとえば $\langle\sigma_s\sigma_t\rangle\ge e^{-2\Delta|t-s|}$ で、相関は $\lambda$ について増加し、$\Delta$ について減少します。
## 1. 動機
[前章](/physics/open-quantum-systems/spin-boson-kondo)では、spin-boson 模型の真空振幅をトンネル項について展開し、Anderson–Yuval–Hamann の Coulomb 気体として書きました（