トポロジカル相：整数量子 Hall 効果・Berry 曲率・TKNN 公式・エッジ状態

0. この記事の要点

強い磁場の中の薄い電子の層に電流を流すと、横向きに生じる電圧から決まる抵抗が、なめらかに変わらず階段状に一定の値をとります。しかもその値は、試料の形や不純物の量が違っても、基本定数だけで決まる値に極めて正確にそろいます。この記事では、この不思議な階段がなぜ生じるのかを、試料の端を流れる電流と、電子の波動関数がもつ「ねじれ」を表す整数の 2 つの面から説明します。読み終えると、磁場がなくても同じ整数が現れる具体的な模型で、その整数と端の状態の数が一致することを自分で確かめられるようになります。

• 強磁場中の 2 次元電子系の Hall 伝導度は、$\sigma_{xy}=\nu\,e^2/h$（$\nu$ は整数）に極めて正確に量子化されます（整数量子 Hall 効果）。値は試料の形・不純物・物質に依らず、$h/e^2=25812.807\ \Omega$ が抵抗の標準になっています。
• 磁場中の電子は Landau 準位をつくり、各準位の縮退度は面積あたり $eB/h$ です。試料の端では、Landau 準位が閉じ込めポテンシャルで持ち上がり、化学ポテンシャルを横切って一方向に進むエッジ状態ができます。Landauer の公式（端の通り道の本数から電流を決める公式）から、チャネル 1 本あたり $e^2/h$ の Hall 伝導度が出ます。
• 周期系では、Bloch バンドの波動関数 $u_{n\boldsymbol{k}}$ が $\boldsymbol{k}$ 空間に幾何学を定めます。Berry 接続 $\boldsymbol{A}=i\langle u|\nabla_{\boldsymbol{k}}u\rangle$ とBerry 曲率 $F=\partial_xA_y-\partial_yA_x$ は、ゲージ変換（位相の取り方）に依存しない曲率です。
• ブリルアンゾーン（トーラス）上の Berry 曲率の積分は $2\pi\times$ 整数です（Chern 数 $C=\frac1{2\pi}\int F\,d^2k\in\mathbb{Z}$）。ゲージ貼り合わせの議論で証明します。
• 電場をかけたとき、電子は群速度に加えて異常速度 $-\dot{\boldsymbol{k}}\times\boldsymbol{\Omega}$ をもちます。満杯のバンドの Hall 伝導度は $\sigma_{xy}=-\frac{e^2}{h}C$（TKNN 公式）で、バンド理論だけから量子化が出ます。
• 具体的な 2 バンド模型で、$|m|<2$ のとき $C=\pm1$、$|m|>2$ で $C=0$ となることと、端にちょうど $C$ 本のエッジ状態が現れることを厳密に示します。これがバルク・境界対応の最小の例です。

この記事で使う事前知識

• Bloch バンド: 結晶の電子のエネルギーが波数 $\boldsymbol{k}$ の関数として帯状に並んだもの。→ Bloch の定理とバンド理論
• 強束縛模型: 原子の軌道を格子点に置き、隣り合う軌道の間の飛び移りでバンドを作る模型。→ 強束縛模型
• 逆格子とブリルアンゾーン: 波数 $\boldsymbol{k}$ の空間と、その周期の単位となる領域。→ 逆格子
• 化学ポテンシャル: 電子を 1 個加えるのに必要なエネルギー。電子がどこまで詰まっているかの目安。→ 化学ポテンシャル
• ゲージ変換: 物理量を変えずにポテンシャルや波動関数の位相を取り換えること。
• Pauli 行列: スピン 1/2 を表す 3 つの $2\times2$ 行列。→ 角運動量とスピン

1. 動機：なぜ抵抗が $h/e^2$ になるのか

1980 年、von Klitzing は、シリコン MOSFET の反転層（2 次元電子系）を $T\sim1\ \mathrm{K}$ に冷やして強磁場（$\sim10\ \mathrm{T}$）をかけ、Hall 抵抗 $R_H=V_H/I$ をゲート電圧の関数として測りました。すると $R_H$ はなめらかな直線ではなく、平らな階段になり、段の高さが $R_H=h/(\nu e^2)$（$\nu=1,2,3,\ldots$）でした。測定の相対精度は $10^{-9}$ に達し、段の位置は試料の形、不純物の量、材料にさえ依存しません。この発見で von Klitzing は 1985 年にノーベル賞を受けました。現在、$h/e^2$（von Klitzing 定数）は電気抵抗の標準で、2019 年の SI 改定では $h$ と $e$ が定義値となり、$R_K=h/e^2=25812.80745\ldots\ \Omega$ が厳密値となりました。

前章までのバンド理論や自由電子気体の Hall 効果では、Hall 抵抗は $R_H=B/(ne)$ のように、電子密度 $n$ と磁場 $B$ に連続的に依存しました。ところが実験の Hall 抵抗は、$n$ や $B$ を変えても階段状に一定です。しかも、その値が基本定数の組み合わせ $h/e^2$ だけで書けることは、試料の詳細が一切効いていないことを意味します。これは「物質の性質が幾何学的・トポロジカルな整数で決まる」最初の例でした。

この記事の筋書きは次の通りです。(i) 磁場中の電子と Landau 準位から、素朴な予想を作る。(ii) 試料の端のエッジ状態から、量子化を導く。(iii) 磁場がなくても同じ現象が起こりうることを、Berry 曲率と Chern 数で一般化し、TKNN 公式を導く。(iv) 具体的な模型で、バルクとエッジの対応を厳密に確かめる。

2. Landau 準位と古典的 Hall 効果

2.1. Landau 準位

2 次元平面（$x,y$）の電子（電荷 $-e$、質量 $m$）に垂直磁場 $\boldsymbol{B}=B\hat{z}$ をかけます。ベクトルポテンシャルを Landau ゲージ $\boldsymbol{A}=(0,Bx,0)$ に選びます（$\nabla\times\boldsymbol{A}=\partial_xA_y\hat{z}=B\hat{z}$ を確かめられる）。ハミルトニアンは

$$H=\frac{p_x^2+(p_y+eBx)^2}{2m},\qquad\omega_c=\frac{eB}m\ (\text{サイクロトロン周波数}) .$$

定理 2.1（Landau 準位）✓

$L_x\times L_y$ の長方形試料（$y$ 方向に周期境界条件、$x$ 方向は $0<x<L_x$ とする）で、$H$ のエネルギー固有値は

$$E_n=\hbar\omega_c\left(n+\frac12\right),\qquad n=0,1,2,\ldots$$

であり、各準位の縮退度は $N_\phi=\dfrac{eB}{h}L_xL_y$（試料を貫く磁束 $BL_xL_y$ を磁束量子 $h/e$ で割った数）である。

証明（定理 2.1）

$H$ は $y$ を含まないので $p_y$ と可換で、$\psi=e^{ik_yy}\phi(x)$ ($k_y=2\pi j/L_y$、$j\in\mathbb{Z}$) と置けます。$p_y\to\hbar k_y$ を代入すると、

$$H_{k_y}=\frac{p_x^2}{2m}+\frac12m\omega_c^2\,(x-x_0)^2,\qquad x_0=-\frac{\hbar k_y}{eB}$$

（$(\hbar k_y+eBx)^2=e^2B^2(x+\hbar k_y/eB)^2=e^2B^2(x-x_0)^2$ と $\frac{e^2B^2}{2m}=\frac12m\omega_c^2$）。これは中心が $x_0$ の調和振動子で、固有値は1 次元系の調和振動子の結果（定理 5.3［1次元の簡単な系］）から $\hbar\omega_c(n+\frac12)$、固有関数は $x_0$ を中心とする幅 $\ell_B=\sqrt{\hbar/eB}$（磁気長）の Gauss 型です。エネルギーが $k_y$ に依存しないので、各 $n$ について $k_y$ ごとに状態があります。

軌道の中心 $x_0$ が試料内にある条件は $0<x_0<L_x$、すなわち $-\frac{eBL_x}\hbar<k_y<0$。$k_y$ は間隔 $2\pi/L_y$ なので、その個数は $\frac{eBL_x}{\hbar}\cdot\frac{L_y}{2\pi}=\frac{eB}{h}L_xL_y$ です（$h=2\pi\hbar$）。

∎

面積あたりの縮退度は $eB/h$ で、$B=1\ \mathrm{T}$ なら $2.4\times10^{14}\ \mathrm{m^{-2}}=2.4\times10^{10}\ \mathrm{cm^{-2}}$ です。電子の面密度 $n_s$ に対して、Landau 準位が何個満たされているかを表す充填率を

$$\nu=\frac{n_s}{eB/h}=\frac{n_sh}{eB}$$

と定義します。$\nu$ が整数 $N$ のとき、$n=0,\ldots,N-1$ の準位がちょうど満杯で、$E_N$ との間にギャップ $\hbar\omega_c$ があります。

2.2. 古典的な Hall 伝導度

不純物がない系の素朴な見積もりをします。電場 $\boldsymbol{E}=E\hat{x}$ と磁場 $B\hat{z}$ の下で、電子は電場に垂直なドリフト運動をします。

命題 2.2（E×B ドリフトと Hall 伝導度）✓

$\boldsymbol{E}\perp\boldsymbol{B}$ の下で、力のつり合い $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}=0$ を満たす定常的な速度は $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}/B^2$ で、電子面密度 $n_s$ の系の電流密度（単位長さあたりの電流）は $\boldsymbol{j}=-n_se\,\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}/B^2$。したがって Hall 伝導度の大きさは $|\sigma_{xy}|=n_se/B$、縦伝導度 $\sigma_{xx}=0$ である。$\nu$ 個の Landau 準位が満杯なら $n_s=\nu eB/h$ より

$$|\sigma_{xy}|=\nu\frac{e^2}h .$$

証明（命題 2.2）

$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}/B^2$ のとき、$\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}=\frac{(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B})\times\boldsymbol{B}}{B^2}=\frac{\boldsymbol{B}(\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{B})-\boldsymbol{E}B^2}{B^2}=-\boldsymbol{E}$（$\boldsymbol{E}\perp\boldsymbol{B}$）で、$\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}=0$。電流は $\boldsymbol{j}=-n_se\boldsymbol{v}$。$\boldsymbol{B}=B\hat{z}$、$\boldsymbol{E}=(E_x,E_y,0)$ では $\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}=B(E_y,-E_x,0)$ なので $j_x=-n_seE_y/B$、$j_y=n_seE_x/B$ で、電場に垂直にだけ電流が流れます。$n_s=\nu eB/h$ を代入して $|\sigma_{xy}|=\frac{n_se}{B}=\nu\frac{e^2}h$。

∎

これは Drude 模型の Hall 係数（命題 2.6［自由電子気体］）の $B$ が強いときの極限とも一致します。この議論は「電子がちょうど $\nu$ 個の準位を埋めているとき」にだけ成り立ち、$n_s$ を連続的に変えれば $\sigma_{xy}$ は直線的に変わるはずです。しかし実験は平らな階段でした。この階段（プラトー）の存在には、乱れ（不純物）が本質的に重要です。不純物ポテンシャルは Landau 準位の状態の大部分を局在させます。局在した状態は電流を運べず、充填率が整数から少しずれたとき、余分な電子は局在状態に入るだけで $\sigma_{xy}$ に寄与しません。その結果、$\nu$ が整数の近傍で $\sigma_{xy}$ が一定になります。プラトーがなぜ極めて正確な値をとるのかは、次節で見るように、端の状態から理解できます。

3. エッジ状態と量子化

実際の試料は有限なので、端があります。端は、電子を閉じ込めるポテンシャル $V(x)$（試料の外で急に高くなる）で表せます。

3.1. 端でのランダウ準位の持ち上がり

試料が $-L_x/2<x<L_x/2$ で、$V(x)$ は試料の内部で 0、端の近くで急に立ち上がるとします。ゆるやかに変化する $V$ に対し、軌道中心 $x_0$ の状態のエネルギーは、$V$ を $x_0$ のまわりで平均して

$$E_n(k_y)\simeq\hbar\omega_c\left(n+\frac12\right)+V(x_0),\qquad x_0=-\frac{\hbar k_y}{eB}$$

となります（$V$ の変化が磁気長 $\ell_B$ に比べてなだらかなら、振動子の幅内で $V\simeq V(x_0)$）。内部（$V=0$）では平らな準位、端では持ち上がります。

命題 3.1（エッジチャネル）✓

化学ポテンシャル $\mu$ が $\hbar\omega_c(N-\frac12)<\mu<\hbar\omega_c(N+\frac12)$ にある（試料内部で $\nu=N$ 個の Landau 準位が満杯）とき、各端で $E_n(k_y)=\mu$ を満たす $k_y$ が $n=0,\ldots,N-1$ の各準位にちょうど 1 つずつある。端ごとに $N$ 本のチャネルがあり、各チャネルの速度 $v_y=\hbar^{-1}\partial E_n/\partial k_y$ の符号は、同じ端の中ではそろっていて、左右の端で逆である。

証明（命題 3.1）

$n\le N-1$ の準位は、内部で $\hbar\omega_c(n+\frac12)<\mu$ で、端で $V(x_0)\to\infty$ へ単調に増えるので、$E_n(k_y)=\mu$ をちょうど 1 回横切ります（中間値の定理と単調性）。$n\ge N$ の準位は内部で既に $\mu$ より上なので、横切りません。速度は $v_y=\hbar^{-1}\frac{dE_n}{dk_y}=\hbar^{-1}V'(x_0)\frac{dx_0}{dk_y}=-\frac1{eB}V'(x_0)$。右端（$x_0>0$ 側）では $V'>0$ で $v_y<0$、左端では $V'<0$ で $v_y>0$ となり、左右で逆向き（磁場の向きを変えると全部逆になる）です。

∎

試料の端でのランダウ準位。内部では平らな準位 ħω_c(n + 1/2) が、両端で閉じ込めポテンシャルのために持ち上がる。化学ポテンシャル μ を横切る点（黒丸）が、端に沿って進むエッジ状態。n = 0, 1 の 2 本のチャネルが各端にあり、左右の端で進む向きは逆。

古典的には、このエッジ状態は端でスキップしながら進む軌道（磁場で曲げられた電子が壁で跳ね返る）に対応します。内部は絶縁体的（ギャップ $\hbar\omega_c$）で、電流を運べるのは端だけです。

3.2. Landauer の公式と Hall 伝導度の量子化

ここでのねらいは、端を流れる電流が、チャネルの速度や形の詳細によらず化学ポテンシャルの差だけで決まることを示すことです。鍵は、速くて通りすぎる状態は、その分だけ状態の並びがまばらになって、両者が打ち消し合うことです。

定理 3.2（整数量子 Hall 効果）✓

内部で $\nu=N$ 個の Landau 準位が満杯で、左右の端のチャネルの間に散乱がない（内部が絶縁体なので、反対向きのチャネルは空間的に離れている）とする。左端のチャネルが化学ポテンシャル $\mu_L$ の電子溜め、右端のチャネルが $\mu_R$ の電子溜めと平衡にあるとき、試料を $y$ 方向に流れる全電流は

$$|I|=N\frac eh\,|\mu_L-\mu_R|$$

であり、Hall 電圧 $V_H=(\mu_L-\mu_R)/e$ に対して

$$\frac{I}{V_H}=N\,\frac{e^2}h,\qquad\sigma_{xy}=N\frac{e^2}h$$

が成り立つ。

証明（定理 3.2）

1 本のチャネル（分散 $E(k_y)$ が単調）が、占有確率 $f(E)$ をもつとき、長さ $L_y$ あたりの電流は、電荷 $-e$ に速度 $v=\hbar^{-1}dE/dk_y$ をかけて状態について足したものです。$k_y$ は密度 $L_y/2\pi$ で並ぶので

$$I_1=-\frac{e}{L_y}\sum_{k_y}v\,f(E)=-e\int\frac{dk_y}{2\pi}\frac1\hbar\frac{dE}{dk_y}f(E)=-\frac{e}{h}\int dE\,f(E) .$$

（$h=2\pi\hbar$。最後に $k_y$ から $E$ への変数変換を行った。）単調な分散では、電流は $E$ の範囲（チャネルの底 $E_{\min}$ から $\infty$）の積分で、$f$ が化学ポテンシャル $\mu$ のフェルミ分布なら $\int_{E_{\min}}^\infty f\,dE=\mu-E_{\min}+O(e^{-\ldots})$（$T\to0$ で $\mu-E_{\min}$）。つまり $I_1=-\frac eh(\mu-E_{\min})$。2 本の端のチャネルは進む向きが逆なので、電流は符号が逆で、$E_{\min}$ の項（試料の幾何で決まる定数）は左右で打ち消し合い、残りは $\mu$ の差のみ：1 本のチャネル対あたり $\frac eh(\mu_L-\mu_R)$。命題 3.1 により $N$ 対のチャネルがあるので $I=N\frac eh(\mu_L-\mu_R)$。$V_H=(\mu_L-\mu_R)/e$ とすると $I/V_H=Ne^2/h$。

∎

この導出の要点は、(1) チャネルは一方向にしか進まないので、不純物による後方散乱が存在せず、(2) 1 本のチャネルが運ぶ電流は電子の速度や分散の詳細に依らず $e\mu/h$ に決まる（速度 $v$ と状態密度 $1/hv$ の積が打ち消す）ことです。したがって量子化は、不純物の乱れや試料の形によらず、$h/e^2$ の正確な整数分の一になります。端が左右に分かれていて、バルクが絶縁体ならば、後方散乱するには電子が試料の幅を飛び越える必要があり、これは指数関数的に小さくなります。精度 $10^{-9}$ の実験結果は、この指数関数的な抑制を示しています。

では磁場なしで、バンド構造だけから同じことが起こるだろうか。Haldane（1988）は、正味の磁束がゼロでも整数量子 Hall 効果が起こる格子模型を示しました。その背景にはバンドのトポロジーがあります。次節からはそれを定式化します。

4. Berry 位相と Berry 曲率

4.1. 定義

Berry 接続と曲率は、波動関数の位相を $\boldsymbol{k}$ とともにどう変えていくかを測る量です。位相は自由に取り換えられるので、取り方に依らない量（曲率）だけが物理的な意味をもちます。命題 (3) は、その曲率が位相の選び方を使わずに射影演算子だけで書けることを示すもので、証明は計算が続きますが、やっていることは微分を実行して打ち消し合う項を落とすだけです。

バンド理論で、結晶の電子はブリルアンゾーンの波数 $\boldsymbol{k}$ ごとのハミルトニアン $H(\boldsymbol{k})$ の固有状態 $|u_{n\boldsymbol{k}}\rangle$ で表されました（Bloch–Floquet 分解、§2.3）。以下では、2 次元の格子で、有限個の軌道（$H(\boldsymbol{k})$ が $r\times r$ 行列）をもつ強束縛模型を考えます。バンド $n$ にギャップがあり、$|u(\boldsymbol{k})\rangle$ が一意に決まる（縮退しない）とします。

定義 4.1（Berry 接続と Berry 曲率）↗

規格化された状態 $|u(\boldsymbol{k})\rangle$ ($\boldsymbol{k}\in\mathbb{R}^2$ の領域で滑らか) に対し、

$$A_\mu(\boldsymbol{k})=i\langle u|\partial_\mu u\rangle\quad(\mu=x,y),\qquad F(\boldsymbol{k})=\partial_xA_y-\partial_yA_x$$

をそれぞれ Berry 接続、Berry 曲率という。$A_\mu$ は規格化条件 $\langle u|u\rangle=1$ の微分 $\langle\partial u|u\rangle+\langle u|\partial u\rangle=0$ により実数。

命題 4.2（Berry 曲率のゲージ不変性と表式）✓

(1) 位相の取り換え $|u'\rangle=e^{i\chi(\boldsymbol{k})}|u\rangle$ ($\chi$ は滑らかな実関数) に対し $A_\mu'=A_\mu-\partial_\mu\chi$、$F'=F$。

(2) $F=-2\operatorname{Im}\langle\partial_xu|\partial_yu\rangle=i\,\langle\partial_xu|\partial_yu\rangle-i\langle\partial_yu|\partial_xu\rangle$。

(3) $P=|u\rangle\langle u|$ （射影演算子）で $F=i\operatorname{Tr}\left(P\,[\partial_xP,\partial_yP]\right)$。

証明（命題 4.2）

(1) $\partial_\mu|u'\rangle=e^{i\chi}(i\partial_\mu\chi|u\rangle+|\partial_\mu u\rangle)$ より $A_\mu'=i\langle u|(i\partial_\mu\chi)|u\rangle+i\langle u|\partial_\mu u\rangle=A_\mu-\partial_\mu\chi$。$F'=F-(\partial_x\partial_y\chi-\partial_y\partial_x\chi)=F$。

(2) $\partial_xA_y=i\langle\partial_xu|\partial_yu\rangle+i\langle u|\partial_x\partial_yu\rangle$。$x\leftrightarrow y$ を入れ替えたものを引くと第 2 項が消えて $F=i(\langle\partial_xu|\partial_yu\rangle-\langle\partial_yu|\partial_xu\rangle)=i\cdot2i\operatorname{Im}\langle\partial_xu|\partial_yu\rangle=-2\operatorname{Im}\langle\partial_xu|\partial_yu\rangle$。

(3) $\partial_\mu P=|\partial_\mu u\rangle\langle u|+|u\rangle\langle\partial_\mu u|$ です。$a_\mu=\langle u|\partial_\mu u\rangle$ とおくと、$\langle u|u\rangle=1$ の微分から $\langle\partial_\mu u|u\rangle=-a_\mu$（$a_\mu$ は純虚数）。すると

$$\langle u|\partial_xP=a_x\langle u|+\langle\partial_xu|,\qquad\partial_yP|u\rangle=|\partial_yu\rangle-a_y|u\rangle$$

で、積は $a_x\langle u|\partial_yu\rangle-a_xa_y+\langle\partial_xu|\partial_yu\rangle-a_y\langle\partial_xu|u\rangle=a_xa_y-a_xa_y+\langle\partial_xu|\partial_yu\rangle+a_ya_x=\langle\partial_xu|\partial_yu\rangle+a_xa_y$。$x\leftrightarrow y$ を入れ替えたものを引くと $a_xa_y$ は消えて $\operatorname{Tr}(P[\partial_xP,\partial_yP])=\langle u|[\partial_xP,\partial_yP]|u\rangle=\langle\partial_xu|\partial_yu\rangle-\langle\partial_yu|\partial_xu\rangle=2i\operatorname{Im}\langle\partial_xu|\partial_yu\rangle$。(2) と比べて $F=i\operatorname{Tr}(P[\partial_xP,\partial_yP])$。

∎

(3) の表式は、位相の選び方を一切含まず、射影演算子 $P(\boldsymbol{k})$ だけから Berry 曲率が決まることを意味します。バンドの幾何学は、状態ではなく部分空間（バンド）の $\boldsymbol{k}$ 依存性に宿っています。

4.2. 2 バンド模型の Berry 曲率

最も簡単な非自明な例は $2\times2$ の $H(\boldsymbol{k})=\boldsymbol{d}(\boldsymbol{k})\cdot\boldsymbol{\sigma}$ ($\boldsymbol{\sigma}$ は Pauli 行列、$\boldsymbol{d}\in\mathbb{R}^3\setminus\{0\}$) です。固有値は $\pm|\boldsymbol{d}|$、下のバンドの射影演算子は $P=\frac12(1-\hat{\boldsymbol{d}}\cdot\boldsymbol{\sigma})$ ($\hat{\boldsymbol{d}}=\boldsymbol{d}/|\boldsymbol{d}|$)。

命題 4.3（2 バンド模型の Berry 曲率）✓

$H=\boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{\sigma}$ の下のバンドの Berry 曲率は

$$F=\frac12\,\hat{\boldsymbol{d}}\cdot\left(\partial_x\hat{\boldsymbol{d}}\times\partial_y\hat{\boldsymbol{d}}\right)=\frac12\,\frac{\boldsymbol{d}\cdot\left(\partial_x\boldsymbol{d}\times\partial_y\boldsymbol{d}\right)}{|\boldsymbol{d}|^3}$$

である（上のバンドは符号が逆）。これは、$\hat{\boldsymbol{d}}$ が単位球面上で $(k_x,k_y)$ の微小な長方形を写した像の面積（立体角）の半分である。

証明（命題 4.3）

$P=\frac12(1-\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})$、$\boldsymbol{n}=\hat{\boldsymbol{d}}$ とすると $\partial_\mu P=-\frac12(\partial_\mu\boldsymbol{n})\cdot\boldsymbol{\sigma}$。Pauli 行列の関係 $[\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{\sigma}]=2i(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{\sigma}$（命題 5.2［角運動量とスピン］）から、$[\partial_xP,\partial_yP]=\frac14\cdot2i(\partial_x\boldsymbol{n}\times\partial_y\boldsymbol{n})\cdot\boldsymbol{\sigma}=\frac i2\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\sigma}$、$\boldsymbol{v}=\partial_x\boldsymbol{n}\times\partial_y\boldsymbol{n}$。$\operatorname{Tr}(P\,\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\sigma})=\frac12\operatorname{Tr}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\sigma})-\frac12\operatorname{Tr}\left((\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\sigma})\right)=0-\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{v}$（$\operatorname{Tr}\sigma_i\sigma_j=2\delta_{ij}$）。したがって $\operatorname{Tr}(P[\partial_xP,\partial_yP])=\frac i2\cdot(-\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{v})$、命題 4.2 (3) より $F=i\cdot\frac i2(-\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{v})=\frac12\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{v}$。

第 2 の等号：$\partial_\mu\boldsymbol{n}=\left(\partial_\mu\boldsymbol{d}-\boldsymbol{n}(\boldsymbol{n}\cdot\partial_\mu\boldsymbol{d})\right)/|\boldsymbol{d}|$ で、射影 $Q=1-\boldsymbol{n}\boldsymbol{n}^{\mathsf T}$ を $\boldsymbol{a}=\partial_x\boldsymbol{d}$, $\boldsymbol{b}=\partial_y\boldsymbol{d}$ にかけたもの。$\boldsymbol{n}\cdot(Q\boldsymbol{a}\times Q\boldsymbol{b})=\boldsymbol{n}\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})-(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{b})\boldsymbol{n}\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{n})-(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{a})\boldsymbol{n}\cdot(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{b})=\boldsymbol{n}\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})$（後ろ 2 項は三重積に同じベクトルが 2 回現れて 0）。よって $\boldsymbol{n}\cdot(\partial_x\boldsymbol{n}\times\partial_y\boldsymbol{n})=\boldsymbol{n}\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})/|\boldsymbol{d}|^2=\boldsymbol{d}\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})/|\boldsymbol{d}|^3$。

∎

5. Chern 数と TKNN 公式

5.1. Chern 数の整数性

結晶では $\boldsymbol{k}$ は逆格子で周期的なので、ブリルアンゾーンはトーラス（正方形の向かい合う辺を貼り合わせたドーナツ型の面） $T^2=[0,2\pi)^2$ です（簡単のため格子定数 1 の正方格子）。バンドの射影演算子 $P(\boldsymbol{k})$ は $T^2$ 上の滑らかな周期関数ですが、状態 $|u(\boldsymbol{k})\rangle$ をトーラス全体で滑らかかつ周期的に選べるとは限りません。

整数性の証明の方針は次の通りです。まず正方形の内側では位相を滑らかに選び、曲率の積分を縁の周回積分に直します（Stokes の定理）。次に、向かい合う辺で位相がどれだけずれるかを調べると、積分は $2\pi$ の整数倍の貼り合わせの食い違いに等しくなります。

定義 5.1（Chern 数）↗

ギャップで隔てられたバンドの Berry 曲率を BZ にわたって積分した

$$C=\frac1{2\pi}\int_{\mathrm{BZ}}F(\boldsymbol{k})\,d^2k$$

を、そのバンドの Chern 数という。$F$ は 命題 4.2 (3) により $P(\boldsymbol{k})$ だけで決まるので、$C$ はバンドに固有の量である。

定理 5.2（Chern 数の整数性）✓

$C\in\mathbb{Z}$ である。

証明（定理 5.2）

正方形 $Q=[0,2\pi]^2$ の上で、滑らかな状態 $|u(\boldsymbol{k})\rangle$ を次のように作れます。原点で $P(0,0)$ の像の単位ベクトル $|u(0,0)\rangle$ を 1 つ選び、まず $k_x$ 方向へ、微分方程式 $\partial_x|u\rangle=[\partial_xP,P]|u\rangle$（平行移動）で延ばします。この方程式は $P|u\rangle=|u\rangle$ と $\langle u|u\rangle=1$ を保ち、$\langle u|\partial_xu\rangle=\langle u|(1-P)\partial_xP|u\rangle=0$ を満たします。次に、$k_x$ 軸上の各点から $k_y$ 方向へ、$\partial_y|u\rangle=[\partial_yP,P]|u\rangle$ で延ばします。線形常微分方程式の解は係数とパラメータに滑らかに依存するので、$|u\rangle$ は $Q$ 上で滑らかです。

この $|u\rangle$ の $Q$ の対辺での値は、周期性 $P(\boldsymbol{k}+2\pi\hat{x})=P(\boldsymbol{k})$ により位相でしか違いません：

$$|u(2\pi,k_y)\rangle=e^{i\phi_1(k_y)}|u(0,k_y)\rangle,\qquad|u(k_x,2\pi)\rangle=e^{i\phi_2(k_x)}|u(k_x,0)\rangle .$$

Stokes の定理（$Q$ 上で $F=\partial_xA_y-\partial_yA_x$）により $\int_QF\,d^2k=\oint_{\partial Q}\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{k}$。命題 4.2 (1) より、対辺の接続は $A_y(2\pi,k_y)=A_y(0,k_y)-\partial_y\phi_1$、$A_x(k_x,2\pi)=A_x(k_x,0)-\partial_x\phi_2$。反時計回りの周で、右辺（上向き）と左辺（下向き）、上辺（左向き）と下辺（右向き）が対になるので

$$\oint_{\partial Q}\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{k}=\int_0^{2\pi}\!\left[A_y(2\pi,k_y)-A_y(0,k_y)\right]dk_y-\int_0^{2\pi}\!\left[A_x(k_x,2\pi)-A_x(k_x,0)\right]dk_x =-\left[\phi_1\right]_0^{2\pi}+\left[\phi_2\right]_0^{2\pi}.$$

頂点 $(2\pi,2\pi)$ へは、$(0,0)$ から 2 通りの経路で到達でき、$|u(2\pi,2\pi)\rangle=e^{i\phi_2(2\pi)}e^{i\phi_1(0)}|u(0,0)\rangle=e^{i\phi_1(2\pi)}e^{i\phi_2(0)}|u(0,0)\rangle$。したがって $\phi_2(2\pi)-\phi_2(0)-\phi_1(2\pi)+\phi_1(0)\in2\pi\mathbb{Z}$。この値は上の周積分に等しい。よって $\int_QF\,d^2k\in2\pi\mathbb{Z}$、$C\in\mathbb{Z}$。

∎

$C\ne0$ なら、トーラス全体で滑らかかつ周期的な位相の取り方は存在しません（存在すれば $\phi_1=\phi_2=0$ となり、上の証明から $C=0$ です）。バンドの波動関数に、局所的には消せない「ねじれ」があることを表します。また、ギャップを閉じない連続変形では $F$ が連続に変わり、整数 $C$ は変わりません。これがトポロジカルということです。

5.2. 異常速度

ここでのねらいは、電場をかけたときの電子の速度に、群速度のほかに Berry 曲率から来る横向きの補正があることを示すことです。計算では、断熱近似（パラメータがゆっくり変わるとき、状態は同じバンドにとどまり、他のバンドの成分がわずかに混ざるだけとする近似）を使い、他のバンドの混ざり具合 $a_m$ を 1 次の小さな量として求めます。

電場 $\boldsymbol{E}$ のもとで、バンドの電子は半古典的に $\hbar\dot{\boldsymbol{k}}=-e\boldsymbol{E}$ に従って動きます（定理 5.1［Bloch の定理とバンド理論］）。バンド理論では速度の補正を電場の 1 次まで無視しましたが、そこにこそ Berry 曲率が現れます。

命題 5.3（異常速度）✓

バンド $n$（ギャップは十分大きい）の状態が、パラメータ $\boldsymbol{k}(t)$ をもつハミルトニアン $H(\boldsymbol{k}(t))$ の下でゆっくり時間発展するとき、断熱近似（断熱定理（定理 6.2）［時間発展と時間依存摂動論］ の 1 次の補正まで）で、速度の期待値 $\langle\boldsymbol{v}\rangle=\hbar^{-1}\langle\partial_{\boldsymbol{k}}H\rangle$ は

$$v_\mu=\frac1\hbar\frac{\partial E_n}{\partial k_\mu}-\sum_\nu\dot k_\nu F_{\mu\nu},\qquad F_{xy}=F=-F_{yx}$$

である。すなわち、2 次元では $\boldsymbol{v}=\hbar^{-1}\nabla_{\boldsymbol{k}}E_n-\dot{\boldsymbol{k}}\times F\hat{z}$（右辺第 2 項が異常速度）。

証明（命題 5.3）

$H(\boldsymbol{k}(t))|m\rangle=E_m|m\rangle$ とし、状態を $|\psi\rangle=e^{-i\theta}\left(|n\rangle+\sum_{m\ne n}a_m|m\rangle\right)$ ($\hbar\dot\theta\simeq E_n$、$a_m$ は 1 次の小量) と置いて Schrödinger 方程式 $i\hbar\partial_t|\psi\rangle=H|\psi\rangle$ に入れます。$\langle m|$ ($m\ne n$) との内積で、1 次の項だけを残すと $i\hbar\langle m|\partial_tn\rangle+E_na_m=E_ma_m$、したがって

$$a_m=\frac{i\hbar\langle m|\partial_tn\rangle}{E_m-E_n},\qquad\partial_t|n\rangle=\sum_\nu\dot k_\nu|\partial_\nu n\rangle .$$

速度演算子は $\hbar^{-1}\partial_\mu H$。$\partial_\mu H|n\rangle+H|\partial_\mu n\rangle=\partial_\mu E_n|n\rangle+E_n|\partial_\mu n\rangle$ に $\langle m|$ をかけると $\langle m|\partial_\mu H|n\rangle=(E_n-E_m)\langle m|\partial_\mu n\rangle$ ($m\ne n$)。また $\langle n|\partial_\mu H|n\rangle=\partial_\mu E_n$（Hellmann–Feynman の定理、命題 3.5［摂動論］）。したがって 1 次まで

$$\langle v_\mu\rangle=\frac1\hbar\partial_\mu E_n+\frac2\hbar\operatorname{Re}\sum_{m\ne n}a_m\langle n|\partial_\mu H|m\rangle .$$

$\langle n|\partial_\mu H|m\rangle=\overline{\langle m|\partial_\mu H|n\rangle}=(E_n-E_m)\langle\partial_\mu n|m\rangle$ と $a_m$ を使うと、$a_m\langle n|\partial_\mu H|m\rangle=-i\hbar\sum_\nu\dot k_\nu\langle\partial_\mu n|m\rangle\langle m|\partial_\nu n\rangle$。ここで $\sum_{m\ne n}|m\rangle\langle m|=1-|n\rangle\langle n|$ だから、$\sum_{m\ne n}\langle\partial_\mu n|m\rangle\langle m|\partial_\nu n\rangle=\langle\partial_\mu n|\partial_\nu n\rangle-\langle\partial_\mu n|n\rangle\langle n|\partial_\nu n\rangle=\langle\partial_\mu n|\partial_\nu n\rangle+a_\mu a_\nu$（$a_\mu=\langle n|\partial_\mu n\rangle$ は純虚数で、$\langle\partial_\mu n|n\rangle=-a_\mu$）。$a_\mu a_\nu$ は実数なので、$-i\hbar\dot k_\nu a_\mu a_\nu$ は純虚数で、実部をとると消えます。結局（$\operatorname{Re}(-iz)=\operatorname{Im}z$ を使って）

$$\langle v_\mu\rangle=\frac1\hbar\partial_\mu E_n+2\operatorname{Re}\Bigl(-i\sum_\nu\dot k_\nu\langle\partial_\mu n|\partial_\nu n\rangle\Bigr)=\frac1\hbar\partial_\mu E_n+2\sum_\nu\dot k_\nu\operatorname{Im}\langle\partial_\mu n|\partial_\nu n\rangle .$$

命題 4.2 (2) の $F_{\mu\nu}=-2\operatorname{Im}\langle\partial_\mu n|\partial_\nu n\rangle$ を使って $2\operatorname{Im}\langle\partial_\mu n|\partial_\nu n\rangle=-F_{\mu\nu}$。主張を得ます。

∎

5.3. TKNN 公式

定理 5.4（TKNN 公式）✓

2 次元結晶で、フェルミ準位がギャップの中にあり、バンド $n=1,\ldots,N_{\mathrm{occ}}$ が満杯とする。弱い一様電場 $\boldsymbol{E}$ に対する断熱応答で、電流密度（単位長さあたり）$\boldsymbol{j}$ は $j_x=\sigma_{xy}E_y$、$j_y=-\sigma_{xy}E_x$ を満たし、

$$\sigma_{xy}=-\frac{e^2}{h}\sum_{n=1}^{N_{\mathrm{occ}}}C_n,\qquad\sigma_{xx}=0$$

である。ここで $C_n$ は 定義 5.1 の各バンドの Chern 数で、整数（定理 5.2）。よって Hall 伝導度は $e^2/h$ の整数倍に量子化される（符号は電子の電荷の符号と Berry 曲率の定義による慣習）。

証明（定理 5.4）

電場の下で $\hbar\dot{\boldsymbol{k}}=-e\boldsymbol{E}$（定理 5.1［Bloch の定理とバンド理論］）。満杯のバンドは、すべての $\boldsymbol{k}$ が占有されているので、電流は電子の速度の和（単位面積あたり $\int\frac{d^2k}{(2\pi)^2}$、スピンは別の軌道とみなす）です。命題 5.3 の第 1 項（群速度）の寄与は、満杯のバンドが電流を運ばない（命題 2.5［Bloch の定理とバンド理論］ と同じ周期性の議論：$\int_{\mathrm{BZ}}\partial_\mu E_n\,d^2k=0$）ので消えます。第 2 項から、バンド $n$ の寄与は

$$j_\mu=-e\int\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\left(-\sum_\nu\dot k_\nu F_{\mu\nu}\right)=e\sum_\nu\dot k_\nu\int\frac{d^2k}{(2\pi)^2}F_{\mu\nu} .$$

$\dot k_\nu=-eE_\nu/\hbar$ は $\boldsymbol{k}$ によらず、$\int F\,d^2k=2\pi C_n$（$F_{xy}=F$）。$j_x=e\dot k_y\frac{2\pi C_n}{(2\pi)^2}=-\frac{e^2}{\hbar}E_y\frac{C_n}{2\pi}=-\frac{e^2}hC_nE_y$、$j_y=e\dot k_x\frac{2\pi C_n}{(2\pi)^2}\cdot(-1)=+\frac{e^2}hC_nE_x$（$F_{yx}=-F$）。占有バンドについて和をとれば、$\sigma_{xy}=-\frac{e^2}h\sum C_n$、$\sigma_{yx}=-\sigma_{xy}$、$\sigma_{xx}=\sigma_{yy}=0$。

∎

縦伝導度が 0 であることは、満杯のバンドは散逸なく電流を流すことを表し、プラトーでの $\rho_{xx}\to0$ に対応します。Hall 伝導度の整数は「バンドの幾何学」で決まり、ハミルトニアンを連続的に変形してもギャップが閉じない限り変化しません。これが量子化が試料の詳細に依らない理由です。Thouless–Kohmoto–Nightingale–den Nijs（1982）は、周期ポテンシャルと一様磁場の中の電子のバンド（Hofstadter バンド）にこの式を適用して、各 Landau 準位由来のバンドの Chern 数が整数であることを示しました。

6. Chern 絶縁体：具体的な模型とエッジ状態

磁場がなくても $C\ne0$ のバンドは実現できます（Haldane 模型）。ここでは、最も簡単な 2 バンド模型（Qi–Wu–Zhang 模型）を取り上げ、Chern 数とエッジ状態を完全に決定します。

定義 6.1（Qi–Wu–Zhang 模型）↗

正方格子（格子定数 1）の各格子点に 2 つの軌道をもつ強束縛模型で、波数空間のハミルトニアンが

$$H(\boldsymbol{k})=\sin k_x\,\sigma_x+\sin k_y\,\sigma_y+\left(m+\cos k_x+\cos k_y\right)\sigma_z$$

で与えられるものを Qi–Wu–Zhang 模型といい、$m$ を質量パラメータという。$\boldsymbol{d}=(\sin k_x,\sin k_y,m+\cos k_x+\cos k_y)$ とおくと $H=\boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{\sigma}$ である。

エネルギーは $\pm|\boldsymbol{d}|$ で、$\boldsymbol{d}=0$ となる $\boldsymbol{k}$ があるときだけギャップが閉じます。$\sin k_x=\sin k_y=0$ より $k_x,k_y\in\{0,\pi\}$ で、$m+\cos k_x+\cos k_y=0$ から、$m=-2$（$\boldsymbol{k}=(0,0)$）、$m=0$（$(\pi,0)$ と $(0,\pi)$）、$m=2$（$(\pi,\pi)$）のときだけです。

6.1. バルクの Chern 数

証明の方針は 3 段階です。Chern 数は整数なので、ギャップが閉じない限り $m$ を動かしても変わらず、変わりうるのはギャップが閉じる $m=-2,0,2$ だけです。$|m|$ が十分大きければ曲率が小さく $C=0$ とわかります。あとは各閉じる点の近くだけを調べ、そこで $C$ がいくつ跳ぶかを足し合わせます。

以下、下のバンドの Chern 数を $C(m)$ とします（命題 4.3 の $F=\frac12\hat{\boldsymbol{d}}\cdot(\partial_x\hat{\boldsymbol{d}}\times\partial_y\hat{\boldsymbol{d}})$ を使う）。

定理 6.2（Qi–Wu–Zhang 模型の Chern 数）✓

下のバンドの Chern 数は

$$C(m)=\begin{cases}0&(m<-2)\\+1&(-2<m<0)\\-1&(0<m<2)\\0&(m>2)\end{cases}$$

である。

証明（定理 6.2）

(i) 区間ごとの定数性。 $m$ がギャップの閉じる値を避けている限り $|\boldsymbol{d}|>0$ で、$F$ は $(\boldsymbol{k},m)$ について連続です。したがって $C(m)$ は $m$ の連続関数で、定理 5.2 により整数値なので、$m=-2,0,2$ を含まない各区間で定数です。

(ii) $|m|$ が大きいとき。 $|m|>2$ では $|\boldsymbol{d}|\ge|d_z|\ge|m|-2>0$、また $\partial_x\boldsymbol{d}=(\cos k_x,0,-\sin k_x)$、$\partial_y\boldsymbol{d}=(0,\cos k_y,-\sin k_y)$ の長さはどちらも $1$ です。命題 4.3 の式で $|\boldsymbol{d}\cdot(\partial_x\boldsymbol{d}\times\partial_y\boldsymbol{d})|\le|\boldsymbol{d}|$ だから $|F|\le\frac{1}{2|\boldsymbol{d}|^2}\le\frac1{2(|m|-2)^2}$、したがって $|C|\le\frac{(2\pi)^2}{2\pi}\sup|F|\le\frac{\pi}{(|m|-2)^2}$ で、$|m|>2+\sqrt\pi$ なら $|C|<1$、整数なので $C=0$。(i) により、$m<-2$ と $m>2$ の区間全体で $C=0$ です。

(iii) ギャップが閉じるときの跳び。 $m$ が $m_0\in\{-2,0,2\}$ を通過するとき、$C$ の跳びは、閉じる点の近傍の寄与だけで決まります（他の領域の $F$ は $m$ について連続）。ギャップが閉じる点 $\boldsymbol{k}_0$ のまわりで $\boldsymbol{q}=\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}_0$ を小さくとり、$\boldsymbol{d}\simeq(aq_x,bq_y,M)$ （$a,b=\pm1$、$M=m-m_0$）と近似します。命題 4.3 から $F=\frac12\frac{abM}{(a^2q_x^2+b^2q_y^2+M^2)^{3/2}}$、$u=aq_x$、$v=bq_y$ とおくと $d^2q=du\,dv/|ab|$、

$$\int_{\mathbb{R}^2}F\,d^2q=\frac{ab}{|ab|}\frac M2\int\frac{du\,dv}{(u^2+v^2+M^2)^{3/2}}=\operatorname{sgn}(ab)\frac M2\cdot\frac{2\pi}{|M|}=\pi\operatorname{sgn}(abM)$$

（極座標で $2\pi\int_0^\infty r\,dr\,(r^2+M^2)^{-3/2}=2\pi/|M|$）。この近傍が $C$ に与える寄与は $\frac12\operatorname{sgn}(abM)$ で、$M<0$ から $M>0$ への通過で $C$ は $\operatorname{sgn}(ab)$ だけ増えます。各点の $(a,b)$ は次の通りです。

• $m_0=-2$、$(0,0)$：$\sin k\simeq q$、$a=b=1$、$ab=+1$。$C$ は $+1$ 増える。
• $m_0=0$、$(\pi,0)$：$\sin(\pi+q_x)=-q_x$、$\sin q_y=q_y$ で $a=-1$、$b=1$、$ab=-1$。$(0,\pi)$：$a=1$、$b=-1$、$ab=-1$。合わせて $C$ は $-2$ 変化。
• $m_0=2$、$(\pi,\pi)$：$a=b=-1$、$ab=+1$。$C$ は $+1$ 増える。

$m<-2$ で $C=0$ から出発して、$m=-2$ を通過して $C=+1$、$m=0$ を通過して $C=-1$、$m=2$ を通過して $C=0$（(ii) の $m>2$ での $C=0$ と整合）となり、主張を得ます。

∎

6.2. エッジ状態の厳密解

ここでのねらいは、端のある系を実際に解いて、バルクの Chern 数と同じ本数の状態が端にあることを確かめることです。端を $x=1$ に置き、$x$ 方向を格子点ごとの波動関数 $\psi(x)$ で表します。$e^{ik_xa}$ は隣の格子点への飛び移りに対応するので、$H$ は $\psi(x+a)$ を使った形に書き換えられます。

半無限の系 $x\ge1$ （$y$ 方向は無限に長く、波数 $k_y$ は良い量子数）で、エッジ状態を厳密に求めます。$x$ 方向の実空間表示では、$H(k_x,k_y)=\sum_ah_a(k_y)e^{ik_xa}$ と展開し、波動関数 $\psi(x)$ への作用は $(H\psi)(x)=\sum_ah_a\psi(x+a)$ です。

$$h_{+1}=\tfrac12(\sigma_z-i\sigma_x),\quad h_{-1}=\tfrac12(\sigma_z+i\sigma_x),\quad h_0=(m+\cos k_y)\sigma_z+\sin k_y\,\sigma_y .$$

（$\sin k_x\sigma_x=\frac{e^{ik_x}-e^{-ik_x}}{2i}\sigma_x$ と $\cos k_x\sigma_z=\frac{e^{ik_x}+e^{-ik_x}}2\sigma_z$ から。）

定理 6.3（Qi–Wu–Zhang 模型のエッジ状態）✓

半無限格子 $x\ge1$ で、$|m+\cos k_y|<1$ を満たす各 $k_y$ に対し、$\sigma_y\chi=\chi$ を満たす固定スピノル $\chi$ （$\sigma_y$ の固有値 $+1$ の固有ベクトル）と $\lambda=-(m+\cos k_y)$ について

$$\psi(x)=\lambda^x\chi\quad(x\ge1)$$

は、エネルギー固有値

$$E(k_y)=\sin k_y$$

の厳密な固有状態である（$|\lambda|<1$ なので $x\to\infty$ で減衰する）。バルクのギャップ内を通る状態は、$-2<m<0$ では $k_y=0$ の近傍の 1 本で群速度 $dE/dk_y=+1$、$0<m<2$ では $k_y=\pi$ の近傍の 1 本で群速度 $-1$ であり、$|m|>2$ ではギャップ内にエッジ状態は存在しない。

証明（定理 6.3）

$\sigma_z\sigma_y=-i\sigma_x$ より $\sigma_z-i\sigma_x=\sigma_z(1+\sigma_y)$、$\sigma_z+i\sigma_x=\sigma_z(1-\sigma_y)$。$\sigma_y\chi=\chi$ なら

$$h_{+1}\chi=\tfrac12\sigma_z(1+\sigma_y)\chi=\sigma_z\chi,\qquad h_{-1}\chi=\tfrac12\sigma_z(1-\sigma_y)\chi=0,\qquad h_0\chi=(m+\cos k_y)\sigma_z\chi+\sin k_y\,\chi .$$

$\psi(x)=\lambda^x\chi$ に対して、$x\ge2$ では $(H\psi)(x)=\lambda^x\left[\lambda h_{+1}\chi+h_0\chi+\lambda^{-1}h_{-1}\chi\right]=\lambda^x\left[\left(\lambda+m+\cos k_y\right)\sigma_z\chi+\sin k_y\chi\right]$。$\lambda=-(m+\cos k_y)$ なら第 1 項が消えて $(H\psi)(x)=\sin k_y\,\psi(x)$。$x=1$ では半無限なので $\psi(0)$ が存在せず、$h_{-1}\psi(0)$ の項が欠けますが、この項は $h_{-1}\chi=0$ のためにもともと $0$ であり、同じ式が成り立ちます。よって $\psi$ は厳密な固有状態で、$E=\sin k_y$、$|\lambda|<1\iff|m+\cos k_y|<1$。

存在領域：$k_y=0$ の近傍では $|m+1|<1$、すなわち $-2<m<0$。$k_y=\pi$ では $|m-1|<1$、すなわち $0<m<2$。$|m|>2$ では $|m+\cos k_y|\ge|m|-1>1$ なので、すべての $k_y$ で存在しない。群速度は $dE/dk_y=\cos k_y$、$k_y=0$ で $+1$、$k_y=\pi$ で $-1$。ギャップの中にあること：バルクの下端は $\min_{k_x}|\boldsymbol{d}|$ で、$|\boldsymbol{d}|^2=\sin^2k_x+\sin^2k_y+(m+\cos k_x+\cos k_y)^2\ge\sin^2k_y$。等号は $\sin k_x=0$ かつ $m+\cos k_x+\cos k_y=0$ （$\cos k_x=\pm1$ なので $|m+\cos k_y|=1$）のときに限りますが、エッジ状態が存在する $k_y$ では $|m+\cos k_y|<1$ なので等号は成り立たず、$|E|=|\sin k_y|<\min_{k_x}|\boldsymbol{d}|$、つまりエッジ状態は厳密にバルクのギャップの内側にあります。

∎

エネルギー $E(k_y)=\sin k_y$ は $k_y$ が増えると増える（$-2<m<0$）ので、このエッジ状態は右向き（$+y$ 方向）にだけ進むカイラルなチャネル（一方向にしか進めない通り道）です。反対側の端（$x\le L$）には、逆向き（$E=-\sin k_y$）のエッジ状態が現れます。

Qi–Wu–Zhang 模型（m = −1）を帯状にしたときのエネルギー。灰色が、バルクの連続帯。ギャップの中を k_y = 0 の近くで通る色つきの線が、左端のエッジ状態 E = sin k_y（|k_y| < π/2 で存在、端でバルクに吸収される）。破線は右端のエッジ状態 E = −sin k_y。

系 6.4（バルク・境界対応（この模型））✓

Qi–Wu–Zhang 模型では、左端のエッジ状態のうち、$E=0$（ギャップの中央）を横切る右向きのチャネルの数から左向きの数を引いた値は、下のバンドのバルク Chern 数 $C(m)$ に等しい。

証明（系 6.4）

定理 6.3 から、$-2<m<0$ では $k_y=0$ に右向きが 1 本（差 $+1$）、$0<m<2$ では $k_y=\pi$ に左向きが 1 本（差 $-1$）、$|m|>2$ では 0 本です。定理 6.2 の $C(m)=+1,-1,0$ と一致します。

∎

この対応は、一般の Chern 絶縁体で成り立つことが知られています（バルク・境界対応）。バルクに Chern 数 $C$ のバンドが 1 つだけあれば、その端には必ず $|C|$ 本のカイラルなチャネルが現れ、それは端の不純物や乱れでは消えません。§3 の量子 Hall 系のエッジ状態（$\nu$ 本）とも同じ現象です。

Qi–Wu–Zhang 模型の相図。m を変えると、ギャップが閉じる 3 点（m = −2, 0, 2）で Chern 数が変わる。m = −2 と 2 では Dirac 点が 1 個、m = 0 では 2 個閉じる（このとき C は 2 だけ変わる）。

7. 演習

演習 7.1易

$B=5\ \mathrm{T}$ の磁場中の面積 $1\ \mathrm{cm}^2$ の 2 次元電子系で、(1) 各 Landau 準位の縮退度 $N_\phi$、(2) 電子面密度 $n_s=3.6\times10^{15}\ \mathrm{m^{-2}}$ のときの充填率 $\nu$、(3) サイクロトロンエネルギー $\hbar\omega_c$（電子の自由質量、$\mathrm{meV}$ で）を求めよ。

解答

(1) 磁束量子 $h/e=4.136\times10^{-15}\ \mathrm{Wb}$、磁束 $BS=5\times10^{-4}\ \mathrm{Wb}$（$S=10^{-4}\ \mathrm{m^2}$）より $N_\phi=\frac{5\times10^{-4}}{4.136\times10^{-15}}=1.21\times10^{11}$。定理 2.1 の $eBS/h$ と同じ。

(2) 面あたり $eB/h=\frac{5}{4.136\times10^{-15}}=1.21\times10^{15}\ \mathrm{m^{-2}}$。$\nu=3.6\times10^{15}/1.21\times10^{15}=2.98\approx3$。

(3) $\hbar\omega_c=\hbar eB/m=\frac{1.055\times10^{-34}\times1.602\times10^{-19}\times5}{9.11\times10^{-31}}=9.28\times10^{-23}\ \mathrm{J}=0.58\ \mathrm{meV}$（温度に換算して $6.7\ \mathrm{K}$）。実際の GaAs の 2 次元電子系では有効質量が $0.067m$ なので、約 $15$ 倍の $8.6\ \mathrm{meV}$（$100\ \mathrm{K}$ 相当）になり、$\sim1\ \mathrm{K}$ の低温でギャップが十分に効きます。

演習 7.2標準

$H=\boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{\sigma}$ で $\hat{\boldsymbol{d}}=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$ とし、$(\theta,\varphi)$ を波数のように 2 つのパラメータとみなす。命題 4.3 の Berry 曲率 $F_{\theta\varphi}$ を求め、球面全体での積分 $\frac1{2\pi}\int F\,d\theta\,d\varphi$ を計算せよ。この値の意味を述べよ。

解答

$\partial_\theta\hat{\boldsymbol{d}}=\hat{\boldsymbol{\theta}}$、$\partial_\varphi\hat{\boldsymbol{d}}=\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}$ で、$\hat{\boldsymbol{d}}\cdot(\hat{\boldsymbol{\theta}}\times\hat{\boldsymbol{\varphi}})=1$ なので $F_{\theta\varphi}=\frac12\sin\theta$。$\int_0^\pi\int_0^{2\pi}\frac12\sin\theta\,d\varphi\,d\theta=\frac12\cdot2\pi\cdot2=2\pi$、よって $\frac1{2\pi}\int F=1$。スピン 1/2 の状態が磁場方向 $\hat{\boldsymbol{d}}$ をすべての方向に動かしたときの Berry 曲率の積分は $2\pi$ で、Chern 数が $1$ です。パラメータ空間の原点（$\boldsymbol{d}=0$）に置かれた「Berry 曲率の磁気単極子」の磁束に対応します。2 バンド模型の Chern 数は、波数空間（トーラス）から球面への写像 $\hat{\boldsymbol{d}}$ が球面を覆う回数（符号つき、写像度（定義 5.1）［胞体ホモロジーと写像度］）に等しい、と理解できます。Chern 数の整数性の一般的な幾何学的証明（曲面上の複素直線束）は 曲面上の Chern 数の整数性（定理 4.1）［Chern–Weil 理論と特性類］ にあり、Berry 接続はその固有直線束の接続です（固有直線束と Berry 接続（命題 5.1）［Chern–Weil 理論と特性類］）。

演習 7.3標準

$m=1$ の Qi–Wu–Zhang 模型について、(1) 下のバンドの Chern 数と、(2) 左端 ($x\ge1$) のエッジ状態のエネルギー、波動関数の減衰率 $\lambda$、存在する $k_y$ の範囲、(3) 群速度を求めよ。

解答

(1) 定理 6.2 より $0<1<2$ だから $C=-1$。

(2) 定理 6.3 より $E(k_y)=\sin k_y$、$\lambda=-(1+\cos k_y)$。存在条件 $|1+\cos k_y|<1$ は $\cos k_y<0$、すなわち $\pi/2<|k_y|\le\pi$。$k_y=\pi$ で $\lambda=0$（波動関数は $x=1$ の格子点だけに局在する）。

(3) $dE/dk_y=\cos k_y$ は $k_y=\pi$ で $-1$（左向き）。これは $C=-1$ と整合します（系 6.4）。

演習 7.4易

$\nu=2$ のプラトーでの Hall 抵抗 $R_H=V_H/I$ と Hall 伝導度を求めよ。また、$I=10\ \mu\mathrm{A}$ を流すとき Hall 電圧はいくらか。

解答

定理 3.2 より $\sigma_{xy}=2e^2/h=2\times3.874\times10^{-5}\ \mathrm{S}=7.75\times10^{-5}\ \mathrm{S}$、$R_H=h/(2e^2)=25812.8/2=12906\ \Omega$。$V_H=R_HI=12906\times10^{-5}=0.129\ \mathrm{V}$ です。電流が小さくても、Hall 電圧が約 $0.13\ \mathrm{V}$ という大きな値で、しかも $10^{-9}$ の精度で再現します。

参考文献

• D. J. Thouless, M. Kohmoto, M. P. Nightingale and M. den Nijs, “Quantized Hall Conductance in a Two-Dimensional Periodic Potential”, Physical Review Letters 49 (1982), 405–408.
• K. v. Klitzing, G. Dorda and M. Pepper, “New Method for High-Accuracy Determination of the Fine-Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance”, Physical Review Letters 45 (1980), 494–497.
• B. A. Bernevig and T. L. Hughes, Topological Insulators and Topological Superconductors, Princeton University Press, 2013 — Chapters 1–3 (Chern 数、QWZ 模型を含む)。
• D. Xiao, M.-C. Chang and Q. Niu, “Berry phase effects on electronic properties”, Reviews of Modern Physics 82 (2010), 1959–2007.
• F. D. M. Haldane, “Model for a Quantum Hall Effect without Landau Levels: Condensed-Matter Realization of the ‘Parity Anomaly’”, Physical Review Letters 61 (1988), 2015–2018.