銅は電気をよく通し、ダイヤモンドはほとんど通しません。どちらも原子が規則正しく並んだ結晶なのに、なぜこれほど違うのでしょうか。この記事では、規則正しい並びの中を動く電子の波を調べて、エネルギーに「入れる帯」と「入れない隙間」ができることを示します。それによって、金属・絶縁体・半導体の違いや、電子が結晶の中では「軽く」も「重く」もなって見える理由が分かります。
結晶の周期ポテンシャルのもとで、1 電子ハミルトニアンの固有関数はBloch 波 ψ n k ( r ) = e i k ⋅ r u n k ( r ) \psi_{n\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r})=e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}u_{n\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r}) ψ n k ( r ) = e i k ⋅ r u n k ( r ) u u u k \boldsymbol{k} k ε n ( k ) \varepsilon_n(\boldsymbol{k}) ε n ( k ) バンド をつくります。証明は「並進演算子と H H H
ゾーンの中の許される k \boldsymbol{k} k N N N 2 N 2N 2 N
ほぼ自由な電子では、Bragg 面（ゾーン境界。波が結晶で強く反射される面）上で 2 つの平面波が縮退して混ざり、ポテンシャルのフーリエ成分 U G U_{\boldsymbol{G}} U G ギャップ 2 ∣ U G ∣ 2|U_{\boldsymbol{G}}| 2∣ U G ∣ が開きます。
強束縛近似では、原子軌道間のホッピング t t t ε ( k ) = ε 0 − 2 t cos k a \varepsilon(k)=\varepsilon_0-2t\cos ka ε ( k ) = ε 0 − 2 t cos k a 4 t 4t 4 t
バンド内の電子は、電場のもとで ℏ k ˙ = − e E \hbar\dot{\boldsymbol{k}}=-e\boldsymbol{E} ℏ k ˙ = − e E v = ℏ − 1 ∂ ε / ∂ k \boldsymbol{v}=\hbar^{-1}\partial\varepsilon/\partial\boldsymbol{k} v = ℏ − 1 ∂ ε / ∂ k m ∗ = ℏ 2 ( ∂ 2 ε / ∂ k 2 ) − 1 m^*=\hbar^2(\partial^2\varepsilon/\partial k^2)^{-1} m ∗ = ℏ 2 ( ∂ 2 ε / ∂ k 2 ) − 1 + e +e + e 正孔 （電子が抜けた跡が、正の電荷をもつ粒子のように動くもの）として振る舞います。
半導体のキャリア密度は n = N c e − ( E c − μ ) / k B T n=N_ce^{-(E_c-\mu)/k_BT} n = N c e − ( E c − μ ) / k B T n p = n i 2 ∝ e − E g / k B T np=n_i^2\propto e^{-E_g/k_BT} n p = n i 2 ∝ e − E g / k B T
周期境界条件 : 単位胞 N N N N N N 同時対角化 : 互いに可換な演算子には、すべての固有値を同時に決める共通の固有関数が選べる、という性質。逆格子 : 結晶の周期を波数の空間で表した格子。波の位相が格子の並進で変わらない波数の集まり。→ 逆格子 自由電子気体 : 電子がイオンの影響を受けず、互いにも干渉しない自由な粒子として動くとする模型。→ 自由電子気体 状態密度 : エネルギーのごく狭い範囲に、電子の状態がいくつ入っているかを表す量。→ 状態密度 化学ポテンシャル : 粒子を 1 個加えるのに必要なエネルギー。半導体の節で電子の入りやすさを決める基準になる。→ 化学ポテンシャル 前章の自由電子気体 は、金属の比熱と電気伝導率をほぼ説明しました。しかしそこには深刻な謎が残っています。第 1 に、電子はイオンに衝突し続けるはずなのに、平均自由行程が原子間隔の 100 倍以上にも達します。第 2 に、Hall 係数が正の金属があります。そして第 3 に、自由電子の描像では絶縁体 が存在できません。電子密度がどれほど小さくても、自由電子は電場で加速されて電流を運ぶからです。ダイヤモンドの電気抵抗率は銅の 10 20 10^{20} 1 0 20
この謎を解く鍵は、結晶ポテンシャルを取り入れることです。電子は孤立した粒子ではなく、周期的に並んだイオンの中の波として、結晶全体に広がっています。周期構造の中の波の理論はあらゆる分野に共通で、X 線の回折（結晶構造と格子振動 ）も、フォノンの分散も、周期構造による波の干渉でした。この章では電子について、この考え方を押し進めます。
最初の鍵は Bloch の定理 です。周期ポテンシャルの中の固有関数は、平面波に格子周期の関数をかけた形をとり、エネルギー準位は連続的なバンド に分かれます。バンドとバンドの間には、電子が存在できないギャップ があります。ギャップの中に電子が満たされる最高のエネルギーがあれば、絶縁体（または半導体）になります。この章は、そのバンドを具体的な近似（ほぼ自由な電子、強束縛近似）で計算し、電場中の運動、有効質量、半導体のキャリア密度までを一貫して扱います。
なお、次の第 4 章の磁性、第 6 章のトポロジカル相では、ここで作る H ( k ) H(\boldsymbol{k}) H ( k ) u n k u_{n\boldsymbol{k}} u n k H H H k \boldsymbol{k} k H ( k ) H(\boldsymbol{k}) H ( k )
1 電子ハミルトニアン を
H = p 2 2 m + V ( r ) , V ( r + R ) = V ( r ) ( ∀ R ∈ Λ ) H=\frac{\boldsymbol{p}^2}{2m}+V(\boldsymbol{r}),\qquad V(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{R})=V(\boldsymbol{r})\ \ (\forall\boldsymbol{R}\in\Lambda) H = 2 m p 2 + V ( r ) , V ( r + R ) = V ( r ) ( ∀ R ∈ Λ ) とします。Λ \Lambda Λ 定義 2.1［結晶構造と格子振動］ ）です。電子間相互作用は、周期的な平均場ポテンシャルとして V V V N = N 1 N 2 N 3 N=N_1N_2N_3 N = N 1 N 2 N 3 ψ ( r + N i a i ) = ψ ( r ) \psi(\boldsymbol{r}+N_i\boldsymbol{a}_i)=\psi(\boldsymbol{r}) ψ ( r + N i a i ) = ψ ( r )
格子ベクトル R \boldsymbol{R} R 並進演算子 T R T_{\boldsymbol{R}} T R ( T R ψ ) ( r ) = ψ ( r + R ) (T_{\boldsymbol{R}}\psi)(\boldsymbol{r})=\psi(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{R}) ( T R ψ ) ( r ) = ψ ( r + R )
定理 2.1 （Bloch の定理 ） ✓
上の設定で、H H H R ∈ Λ \boldsymbol{R}\in\Lambda R ∈ Λ
ψ ( r + R ) = e i k ⋅ R ψ ( r ) \psi(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{R})=e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R}}\,\psi(\boldsymbol{r}) ψ ( r + R ) = e i k ⋅ R ψ ( r ) を満たす形に選べる。ここで k = ∑ i m i N i b i \boldsymbol{k}=\sum_i\frac{m_i}{N_i}\boldsymbol{b}_i k = ∑ i N i m i b i m i ∈ Z m_i\in\mathbb{Z} m i ∈ Z b i \boldsymbol{b}_i b i
ψ k ( r ) = e i k ⋅ r u k ( r ) , u k ( r + R ) = u k ( r ) \psi_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r})=e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}u_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r}),\qquad u_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{R})=u_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r}) ψ k ( r ) = e i k ⋅ r u k ( r ) , u k ( r + R ) = u k ( r ) である。k \boldsymbol{k} k k + G \boldsymbol{k}+\boldsymbol{G} k + G G ∈ Λ ∗ \boldsymbol{G}\in\Lambda^* G ∈ Λ ∗
証明の方針は次のとおりです。結晶を 1 周期ぶんずらす操作（並進）はハミルトニアンと両立するので、エネルギーの固有関数を並進の固有関数にも同時に選べます。端をつないだ結晶では、N N N N N N k \boldsymbol{k} k
証明（定理 2.1） (i) T R T_{\boldsymbol{R}} T R H H H p 2 / 2 m \boldsymbol{p}^2/2m p 2 /2 m V V V T R V T R − 1 = V ( ⋅ + R ) = V T_{\boldsymbol{R}}VT_{\boldsymbol{R}}^{-1}=V(\cdot+\boldsymbol{R})=V T R V T R − 1 = V ( ⋅ + R ) = V T R T R ′ = T R + R ′ T_{\boldsymbol{R}}T_{\boldsymbol{R}'}=T_{\boldsymbol{R}+\boldsymbol{R}'} T R T R ′ = T R + R ′ T R T_{\boldsymbol{R}} T R
(ii) 周期境界条件は T N i a i = 1 T_{N_i\boldsymbol{a}_i}=1 T N i a i = 1 T a 1 , T a 2 , T a 3 , H T_{\boldsymbol{a}_1},T_{\boldsymbol{a}_2},T_{\boldsymbol{a}_3},H T a 1 , T a 2 , T a 3 , H 同時固有関数 をもちます（定理 6.1［演算子と物理量］ ）。そこで H H H ψ \psi ψ T a i ψ = λ i ψ T_{\boldsymbol{a}_i}\psi=\lambda_i\psi T a i ψ = λ i ψ T a i N i = 1 T_{\boldsymbol{a}_i}^{N_i}=1 T a i N i = 1 λ i N i = 1 \lambda_i^{N_i}=1 λ i N i = 1 λ i = e 2 π i m i / N i \lambda_i=e^{2\pi im_i/N_i} λ i = e 2 π i m i / N i m i ∈ Z m_i\in\mathbb{Z} m i ∈ Z
(iii) k = ∑ i ( m i / N i ) b i \boldsymbol{k}=\sum_i(m_i/N_i)\boldsymbol{b}_i k = ∑ i ( m i / N i ) b i b i ⋅ a j = 2 π δ i j \boldsymbol{b}_i\cdot\boldsymbol{a}_j=2\pi\delta_{ij} b i ⋅ a j = 2 π δ ij 命題 3.2［結晶構造と格子振動］ ）より k ⋅ a j = 2 π m j / N j \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{a}_j=2\pi m_j/N_j k ⋅ a j = 2 π m j / N j λ j = e i k ⋅ a j \lambda_j=e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{a}_j} λ j = e i k ⋅ a j R = ∑ n j a j \boldsymbol{R}=\sum n_j\boldsymbol{a}_j R = ∑ n j a j T R = ∏ j T a j n j T_{\boldsymbol{R}}=\prod_jT_{\boldsymbol{a}_j}^{n_j} T R = ∏ j T a j n j T R ψ = ∏ j λ j n j ψ = e i k ⋅ R ψ T_{\boldsymbol{R}}\psi=\prod_j\lambda_j^{n_j}\psi=e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R}}\psi T R ψ = ∏ j λ j n j ψ = e i k ⋅ R ψ
(iv) u k ( r ) = e − i k ⋅ r ψ ( r ) u_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r})=e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}\psi(\boldsymbol{r}) u k ( r ) = e − i k ⋅ r ψ ( r ) u k ( r + R ) = e − i k ⋅ r − i k ⋅ R e i k ⋅ R ψ ( r ) = u k ( r ) u_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{R})=e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R}}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R}}\psi(\boldsymbol{r})=u_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r}) u k ( r + R ) = e − i k ⋅ r − i k ⋅ R e i k ⋅ R ψ ( r ) = u k ( r ) u k u_{\boldsymbol{k}} u k G ∈ Λ ∗ \boldsymbol{G}\in\Lambda^* G ∈ Λ ∗ e i G ⋅ R = 1 e^{i\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{R}}=1 e i G ⋅ R = 1 定義 3.1［結晶構造と格子振動］ ）だから、k \boldsymbol{k} k k + G \boldsymbol{k}+\boldsymbol{G} k + G e i k ⋅ R e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R}} e i k ⋅ R
∎ この定理が言っているのは、電子の「運動量」ℏ k \hbar\boldsymbol{k} ℏ k 結晶運動量 （crystal momentum）として、逆格子ベクトルの不定性を残して生き残っていることです。結晶に衝突する電子の運動量は ℏ G \hbar\boldsymbol{G} ℏ G 結晶構造と格子振動 の Laue 条件）と同じ事情です。
固定した k \boldsymbol{k} k H H H H ( k ) H(\boldsymbol{k}) H ( k ) ε 1 ( k ) ≤ ε 2 ( k ) ≤ ⋯ \varepsilon_1(\boldsymbol{k})\le\varepsilon_2(\boldsymbol{k})\le\cdots ε 1 ( k ) ≤ ε 2 ( k ) ≤ ⋯ n n n バンド指数 と呼びます。k → k + G \boldsymbol{k}\to\boldsymbol{k}+\boldsymbol{G} k → k + G ε n ( k + G ) = ε n ( k ) \varepsilon_n(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{G})=\varepsilon_n(\boldsymbol{k}) ε n ( k + G ) = ε n ( k ) k \boldsymbol{k} k 還元ゾーン形式 といいます。言いかえると、k \boldsymbol{k} k ε n ( k ) \varepsilon_n(\boldsymbol{k}) ε n ( k )
命題 2.2 （バンドあたりの状態数 ） ✓
N = N 1 N 2 N 3 N=N_1N_2N_3 N = N 1 N 2 N 3 k \boldsymbol{k} k N N N 2 N 2N 2 N
証明（命題 2.2） 定理 2.1 の証明より、許される k \boldsymbol{k} k ∑ i ( m i / N i ) b i \sum_i(m_i/N_i)\boldsymbol{b}_i ∑ i ( m i / N i ) b i m i m_i m i m i + N i m_i+N_i m i + N i k \boldsymbol{k} k b i \boldsymbol{b}_i b i m i ∈ { 0 , 1 , … , N i − 1 } m_i\in\{0,1,\ldots,N_i-1\} m i ∈ { 0 , 1 , … , N i − 1 } N 1 N 2 N 3 = N N_1N_2N_3=N N 1 N 2 N 3 = N k \boldsymbol{k} k 2 N 2N 2 N
∎ 証明（系 2.3） 単位胞あたり z z z z N zN z N 命題 2.2 より 2 N 2N 2 N z z z z N zN z N 2 N 2N 2 N
∎ アルカリ金属（単位胞あたり 1 電子）が金属なのはこのためです。逆に単位胞あたりの電子が偶数でも、バンドが重なっていれば金属になり得ます（アルカリ土類金属・半金属）。偶数は絶縁体であるための必要条件にすぎません。
金属 絶縁体 半導体 最高占有バンド 伝導帯（空） 価電子帯（満杯） 伝導帯 価電子帯 E_g（大） E_g（小） ε_F 電子の占有状態による物質の分類。金属では最高の占有バンドが途中まで埋まる。絶縁体は、満杯の価電子帯と空の伝導帯の間に大きなギャップ E_g がある。半導体はギャップが小さく、有限温度で伝導帯に少数の電子（●）が励起され、価電子帯に同数の正孔（○）が残る。 定理 2.1 の ψ k = e i k ⋅ r u \psi_{\boldsymbol{k}}=e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}u ψ k = e i k ⋅ r u p e i k ⋅ r u = e i k ⋅ r ( p + ℏ k ) u \boldsymbol{p}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}u=e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{p}+\hbar\boldsymbol{k})u p e i k ⋅ r u = e i k ⋅ r ( p + ℏ k ) u u u u
H ( k ) u = ε u , H ( k ) = ( p + ℏ k ) 2 2 m + V ( r ) H(\boldsymbol{k})u=\varepsilon u,\qquad H(\boldsymbol{k})=\frac{(\boldsymbol{p}+\hbar\boldsymbol{k})^2}{2m}+V(\boldsymbol{r}) H ( k ) u = ε u , H ( k ) = 2 m ( p + ℏ k ) 2 + V ( r ) が得られます。u u u ε n ( k ) \varepsilon_n(\boldsymbol{k}) ε n ( k ) H H H k \boldsymbol{k} k H ( k ) H(\boldsymbol{k}) H ( k ) k \boldsymbol{k} k Floquet の定理（定理 5.3）［線形微分方程式系］ で、周期ポテンシャルの厳密に解けるバンド構造の例が Kronig–Penney 模型（例 6.2）［線形微分方程式系］ です。直積分による一般論は周期作用素と Bloch–Floquet 分解 にあります。
命題 2.4 （Bloch 状態の速度 ） ✓
Bloch 状態 ψ n k \psi_{n\boldsymbol{k}} ψ n k p / m \boldsymbol{p}/m p / m
⟨ ψ n k ∣ p m ∣ ψ n k ⟩ = v n ( k ) : = 1 ℏ ∂ ε n ∂ k \langle\psi_{n\boldsymbol{k}}|\tfrac{\boldsymbol{p}}{m}|\psi_{n\boldsymbol{k}}\rangle=\boldsymbol{v}_n(\boldsymbol{k}):=\frac1\hbar\frac{\partial\varepsilon_n}{\partial\boldsymbol{k}} ⟨ ψ n k ∣ m p ∣ ψ n k ⟩ = v n ( k ) := ℏ 1 ∂ k ∂ ε n である。
ねらいは、速度の期待値がなぜバンドの傾きに等しくなるかを見ることです。H ( k ) H(\boldsymbol{k}) H ( k ) k \boldsymbol{k} k
証明（命題 2.4） ∂ H ( k ) / ∂ k = ℏ ( p + ℏ k ) / m \partial H(\boldsymbol{k})/\partial\boldsymbol{k}=\hbar(\boldsymbol{p}+\hbar\boldsymbol{k})/m ∂ H ( k ) / ∂ k = ℏ ( p + ℏ k ) / m 命題 3.5［摂動論］ ）を H ( k ) H(\boldsymbol{k}) H ( k ) ∂ ε n / ∂ k = ⟨ u n k ∣ ∂ k H ( k ) ∣ u n k ⟩ = ℏ m ⟨ u ∣ ( p + ℏ k ) ∣ u ⟩ \partial\varepsilon_n/\partial\boldsymbol{k}=\langle u_{n\boldsymbol{k}}|\partial_{\boldsymbol{k}}H(\boldsymbol{k})|u_{n\boldsymbol{k}}\rangle=\frac\hbar m\langle u|(\boldsymbol{p}+\hbar\boldsymbol{k})|u\rangle ∂ ε n / ∂ k = ⟨ u n k ∣ ∂ k H ( k ) ∣ u n k ⟩ = m ℏ ⟨ u ∣ ( p + ℏ k ) ∣ u ⟩ ⟨ ψ ∣ p ∣ ψ ⟩ = ⟨ u ∣ e − i k ⋅ r p e i k ⋅ r ∣ u ⟩ = ⟨ u ∣ ( p + ℏ k ) ∣ u ⟩ \langle\psi|\boldsymbol{p}|\psi\rangle=\langle u|e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}\boldsymbol{p}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}|u\rangle=\langle u|(\boldsymbol{p}+\hbar\boldsymbol{k})|u\rangle ⟨ ψ ∣ p ∣ ψ ⟩ = ⟨ u ∣ e − i k ⋅ r p e i k ⋅ r ∣ u ⟩ = ⟨ u ∣ ( p + ℏ k ) ∣ u ⟩ 1 ℏ ∂ k ε n = 1 m ⟨ ψ ∣ p ∣ ψ ⟩ \frac{1}{\hbar}\partial_{\boldsymbol{k}}\varepsilon_n=\frac1m\langle\psi|\boldsymbol{p}|\psi\rangle ℏ 1 ∂ k ε n = m 1 ⟨ ψ ∣ p ∣ ψ ⟩
∎ 自由電子では ε = ℏ 2 k 2 / 2 m \varepsilon=\hbar^2k^2/2m ε = ℏ 2 k 2 /2 m v = ℏ k / m \boldsymbol{v}=\hbar\boldsymbol{k}/m v = ℏ k / m p / m \boldsymbol{p}/m p / m v n ( k ) \boldsymbol{v}_n(\boldsymbol{k}) v n ( k ) 電子は格子と衝突することなく、一定の速度で結晶中を進み続けます 。電気抵抗の起源は、周期性からのずれ（不純物・格子欠陥・格子振動）だけです。これが第 1 の謎、平均自由行程が原子間隔の 100 倍にもなる理由の答えです。
命題 2.5 （満杯のバンドは電流を運ばない ） ✓
あるバンドが完全に占有されている（すべての k \boldsymbol{k} k 0 0 0
証明（命題 2.5） 電流は j = − e V ∑ k 2 v n ( k ) \boldsymbol{j}=-\frac{e}{V}\sum_{\boldsymbol{k}}2\boldsymbol{v}_n(\boldsymbol{k}) j = − V e ∑ k 2 v n ( k ) k \boldsymbol{k} k 命題 2.4 より ∑ k v n ∝ ∫ B Z ∂ k ε n d 3 k \sum_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{v}_n\propto\int_{\mathrm{BZ}}\partial_{\boldsymbol{k}}\varepsilon_n\,d^3k ∑ k v n ∝ ∫ BZ ∂ k ε n d 3 k k = ∑ i x i b i \boldsymbol{k}=\sum_ix_i\boldsymbol{b}_i k = ∑ i x i b i 0 ≤ x i < 1 0\le x_i<1 0 ≤ x i < 1 [ 0 , 1 ) 3 [0,1)^3 [ 0 , 1 ) 3 ε n \varepsilon_n ε n x i x_i x i 1 1 1 ∫ 0 1 ∂ x i ε n d x i = ε n ∣ x i = 1 − ε n ∣ x i = 0 = 0 \int_0^1\partial_{x_i}\varepsilon_n\,dx_i=\varepsilon_n|_{x_i=1}-\varepsilon_n|_{x_i=0}=0 ∫ 0 1 ∂ x i ε n d x i = ε n ∣ x i = 1 − ε n ∣ x i = 0 = 0 ∂ k ε n \partial_{\boldsymbol{k}}\varepsilon_n ∂ k ε n
∎ これで第 3 の謎に答えが出ました。バンドが完全に満たされていれば、電場をかけても電流は流れません（後述の定理でも、電場は k \boldsymbol{k} k
V V V V ( r ) = ∑ G U G e i G ⋅ r V(\boldsymbol{r})=\sum_{\boldsymbol{G}}U_{\boldsymbol{G}}e^{i\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{r}} V ( r ) = ∑ G U G e i G ⋅ r U − G = U G ∗ U_{-\boldsymbol{G}}=U_{\boldsymbol{G}}^* U − G = U G ∗ V V V ψ = ∑ G c k + G e i ( k + G ) ⋅ r \psi=\sum_{\boldsymbol{G}}c_{\boldsymbol{k}+\boldsymbol{G}}e^{i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{G})\cdot\boldsymbol{r}} ψ = ∑ G c k + G e i ( k + G ) ⋅ r
命題 2.6 （中心方程式 ） ✓
波数 k \boldsymbol{k} k G ∈ Λ ∗ \boldsymbol{G}\in\Lambda^* G ∈ Λ ∗
[ ℏ 2 ∣ k + G ∣ 2 2 m − ε ] c k + G + ∑ G ′ U G − G ′ c k + G ′ = 0 \left[\frac{\hbar^2|\boldsymbol{k}+\boldsymbol{G}|^2}{2m}-\varepsilon\right]c_{\boldsymbol{k}+\boldsymbol{G}}+\sum_{\boldsymbol{G}'}U_{\boldsymbol{G}-\boldsymbol{G}'}\,c_{\boldsymbol{k}+\boldsymbol{G}'}=0 [ 2 m ℏ 2 ∣ k + G ∣ 2 − ε ] c k + G + G ′ ∑ U G − G ′ c k + G ′ = 0 を満たす。
証明（命題 2.6） − ℏ 2 2 m ∇ 2 -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 − 2 m ℏ 2 ∇ 2 e i q ⋅ r e^{i\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{r}} e i q ⋅ r ℏ 2 q 2 / 2 m \hbar^2q^2/2m ℏ 2 q 2 /2 m V e i q ⋅ r = ∑ G ′ ′ U G ′ ′ e i ( q + G ′ ′ ) ⋅ r V\,e^{i\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{r}}=\sum_{\boldsymbol{G}''}U_{\boldsymbol{G}''}e^{i(\boldsymbol{q}+\boldsymbol{G}'')\cdot\boldsymbol{r}} V e i q ⋅ r = ∑ G ′′ U G ′′ e i ( q + G ′′ ) ⋅ r H ψ = ε ψ H\psi=\varepsilon\psi H ψ = ε ψ e i ( k + G ) ⋅ r e^{i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{G})\cdot\boldsymbol{r}} e i ( k + G ) ⋅ r q = k + G ′ \boldsymbol{q}=\boldsymbol{k}+\boldsymbol{G}' q = k + G ′ G ′ ′ = G − G ′ \boldsymbol{G}''=\boldsymbol{G}-\boldsymbol{G}' G ′′ = G − G ′
∎ U G → 0 U_{\boldsymbol{G}}\to0 U G → 0 ε = ℏ 2 ∣ k + G ∣ 2 / 2 m \varepsilon=\hbar^2|\boldsymbol{k}+\boldsymbol{G}|^2/2m ε = ℏ 2 ∣ k + G ∣ 2 /2 m
ポテンシャルが弱い（∣ U G ∣ |U_{\boldsymbol{G}}| ∣ U G ∣ ε q 0 = ℏ 2 q 2 / 2 m \varepsilon^0_{\boldsymbol{q}}=\hbar^2q^2/2m ε q 0 = ℏ 2 q 2 /2 m k \boldsymbol{k} k k − G \boldsymbol{k}-\boldsymbol{G} k − G ∣ k ∣ = ∣ k − G ∣ |\boldsymbol{k}|=|\boldsymbol{k}-\boldsymbol{G}| ∣ k ∣ = ∣ k − G ∣ k \boldsymbol{k} k G / 2 \boldsymbol{G}/2 G /2 定義 3.4［結晶構造と格子振動］ の後の議論）上にあることを意味します。
定理 3.1 （ほぼ自由な電子：ゾーン境界のギャップ ） ✓
k \boldsymbol{k} k k , k − G \boldsymbol{k},\ \boldsymbol{k}-\boldsymbol{G} k , k − G
ε ± ( k ) = ε k 0 + ε k − G 0 2 ± ( ε k 0 − ε k − G 0 2 ) 2 + ∣ U G ∣ 2 \varepsilon_\pm(\boldsymbol{k})=\frac{\varepsilon^0_{\boldsymbol{k}}+\varepsilon^0_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{G}}}2\pm\sqrt{\left(\frac{\varepsilon^0_{\boldsymbol{k}}-\varepsilon^0_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{G}}}2\right)^2+|U_{\boldsymbol{G}}|^2} ε ± ( k ) = 2 ε k 0 + ε k − G 0 ± ( 2 ε k 0 − ε k − G 0 ) 2 + ∣ U G ∣ 2 で与えられる（U 0 = 0 U_{\boldsymbol{0}}=0 U 0 = 0 ε k 0 = ε k − G 0 = ε B \varepsilon^0_{\boldsymbol{k}}=\varepsilon^0_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{G}}=\varepsilon_B ε k 0 = ε k − G 0 = ε B ε ± = ε B ± ∣ U G ∣ \varepsilon_\pm=\varepsilon_B\pm|U_{\boldsymbol{G}}| ε ± = ε B ± ∣ U G ∣ エネルギーギャップ
E g = 2 ∣ U G ∣ E_g=2|U_{\boldsymbol{G}}| E g = 2∣ U G ∣ が開く。ギャップの端の波動関数は定在波である。
証明（定理 3.1） 命題 2.6 で係数 c k , c k − G c_{\boldsymbol{k}},c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{G}} c k , c k − G G → 0 \boldsymbol{G}\to\boldsymbol{0} G → 0 G → − G \boldsymbol{G}\to-\boldsymbol{G} G → − G
( ε k 0 − ε ) c k + U G c k − G = 0 , U G ∗ c k + ( ε k − G 0 − ε ) c k − G = 0 (\varepsilon^0_{\boldsymbol{k}}-\varepsilon)c_{\boldsymbol{k}}+U_{\boldsymbol{G}}\,c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{G}}=0,\qquad
U_{\boldsymbol{G}}^*\,c_{\boldsymbol{k}}+(\varepsilon^0_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{G}}-\varepsilon)\,c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{G}}=0 ( ε k 0 − ε ) c k + U G c k − G = 0 , U G ∗ c k + ( ε k − G 0 − ε ) c k − G = 0 が残ります（2 本目で U − G = U G ∗ U_{-\boldsymbol{G}}=U_{\boldsymbol{G}}^* U − G = U G ∗
( ε k 0 − ε ) ( ε k − G 0 − ε ) − ∣ U G ∣ 2 = 0 (\varepsilon^0_{\boldsymbol{k}}-\varepsilon)(\varepsilon^0_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{G}}-\varepsilon)-|U_{\boldsymbol{G}}|^2=0 ( ε k 0 − ε ) ( ε k − G 0 − ε ) − ∣ U G ∣ 2 = 0 で、ε \varepsilon ε ± ∣ U G ∣ \pm|U_{\boldsymbol{G}}| ± ∣ U G ∣ c k − G = ± ( U G ∗ / ∣ U G ∣ ) c k c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{G}}=\pm\,(U_{\boldsymbol{G}}^*/|U_{\boldsymbol{G}}|)\,c_{\boldsymbol{k}} c k − G = ± ( U G ∗ /∣ U G ∣ ) c k ε − ε B = ± ∣ U ∣ \varepsilon-\varepsilon_B=\pm|U| ε − ε B = ± ∣ U ∣ ∣ c k ∣ = ∣ c k − G ∣ |c_{\boldsymbol{k}}|=|c_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{G}}| ∣ c k ∣ = ∣ c k − G ∣
∎ 2 波近似の精度は、他の平面波との混合が、2 次摂動のオーダー ∣ U ∣ 2 / Δ ε |U|^2/\Delta\varepsilon ∣ U ∣ 2 /Δ ε Δ ε \Delta\varepsilon Δ ε V ( x ) = 2 U cos ( 2 π x / a ) V(x)=2U\cos(2\pi x/a) V ( x ) = 2 U cos ( 2 π x / a ) U = 1.6 U=1.6 U = 1.6 ℏ 2 / 2 m = 1 , a = 1 \hbar^2/2m=1,\ a=1 ℏ 2 /2 m = 1 , a = 1 π 2 ≈ 9.9 \pi^2\approx9.9 π 2 ≈ 9.9 3.199 3.199 3.199 2 U = 3.2 2U=3.2 2 U = 3.2
−π/a 0 π/a 波数 k（第 1 Brillouin ゾーン） ε ギャップ 2U 実線：バンド 破線：自由電子（折り返し） ほぼ自由な電子のバンド（還元ゾーン形式）。V(x) = 2U cos(2πx/a)、U = 1.6 を数値対角化した結果（実線）。破線は自由電子の放物線を折り返したもので、ゾーン境界 k = ±π/a のギャップ（図中、約 2U）の他は破線に近い。 ギャップ端の定在波には物理的な意味があります。1 次元で V ( x ) = 2 U cos G x V(x)=2U\cos Gx V ( x ) = 2 U cos G x U > 0 U>0 U > 0 k = G / 2 k=G/2 k = G /2 ψ c = 2 cos ( G x / 2 ) \psi_c=\sqrt2\cos(Gx/2) ψ c = 2 cos ( G x /2 ) ψ s = 2 sin ( G x / 2 ) \psi_s=\sqrt2\sin(Gx/2) ψ s = 2 sin ( G x /2 ) ∣ ψ c ∣ 2 = 1 + cos G x |\psi_{c}|^2=1+\cos Gx ∣ ψ c ∣ 2 = 1 + cos G x ∣ ψ s ∣ 2 = 1 − cos G x |\psi_s|^2=1-\cos Gx ∣ ψ s ∣ 2 = 1 − cos G x V V V ⟨ ψ c ∣ V ∣ ψ c ⟩ = U \langle\psi_c|V|\psi_c\rangle=U ⟨ ψ c ∣ V ∣ ψ c ⟩ = U ⟨ ψ s ∣ V ∣ ψ s ⟩ = − U \langle\psi_s|V|\psi_s\rangle=-U ⟨ ψ s ∣ V ∣ ψ s ⟩ = − U V V V cos G x = − 1 \cos Gx=-1 cos G x = − 1 ψ s \psi_s ψ s ψ c \psi_c ψ c 同じ波数でも電子の空間分布が 2 通りあって、イオンの引力ポテンシャルの谷にいる方が得をする ことから生まれます。
系 3.2 （ギャップ端の有効質量 ） ✓
1 次元（G = 2 π / a G=2\pi/a G = 2 π / a k = G / 2 k=G/2 k = G /2 k = G / 2 + κ k=G/2+\kappa k = G /2 + κ 定理 3.1 の ε ± \varepsilon_\pm ε ± ε B = ℏ 2 G 2 / 8 m \varepsilon_B=\hbar^2G^2/8m ε B = ℏ 2 G 2 /8 m
ε ± ≃ ε B ± ∣ U G ∣ + ℏ 2 κ 2 2 m ( 1 ± 2 ε B ∣ U G ∣ ) ( ∣ κ ∣ が小 ) \varepsilon_\pm\simeq\varepsilon_B\pm|U_G|+\frac{\hbar^2\kappa^2}{2m}\left(1\pm\frac{2\varepsilon_B}{|U_G|}\right)\qquad(|\kappa|\ \text{が小}) ε ± ≃ ε B ± ∣ U G ∣ + 2 m ℏ 2 κ 2 ( 1 ± ∣ U G ∣ 2 ε B ) ( ∣ κ ∣ が小 ) となる。ε B ≫ ∣ U G ∣ \varepsilon_B\gg|U_G| ε B ≫ ∣ U G ∣ ∣ m ∗ ∣ ≃ m ∣ U G ∣ / 2 ε B ≪ m |m^*|\simeq m|U_G|/2\varepsilon_B\ll m ∣ m ∗ ∣ ≃ m ∣ U G ∣/2 ε B ≪ m m ∗ > 0 m^*>0 m ∗ > 0 m ∗ < 0 m^*<0 m ∗ < 0
証明（系 3.2） ε k 0 = ℏ 2 ( G / 2 + κ ) 2 / 2 m \varepsilon^0_k=\hbar^2(G/2+\kappa)^2/2m ε k 0 = ℏ 2 ( G /2 + κ ) 2 /2 m ε k − G 0 = ℏ 2 ( κ − G / 2 ) 2 / 2 m \varepsilon^0_{k-G}=\hbar^2(\kappa-G/2)^2/2m ε k − G 0 = ℏ 2 ( κ − G /2 ) 2 /2 m ε B + ℏ 2 κ 2 / 2 m \varepsilon_B+\hbar^2\kappa^2/2m ε B + ℏ 2 κ 2 /2 m ℏ 2 G κ / 2 m \hbar^2G\kappa/2m ℏ 2 G κ /2 m 定理 3.1 の根号を ∣ U ∣ 2 + x 2 ≃ ∣ U ∣ + x 2 / 2 ∣ U ∣ \sqrt{|U|^2+x^2}\simeq|U|+x^2/2|U| ∣ U ∣ 2 + x 2 ≃ ∣ U ∣ + x 2 /2∣ U ∣ x = ℏ 2 G κ / 2 m x=\hbar^2G\kappa/2m x = ℏ 2 G κ /2 m x 2 / ( 2 ∣ U ∣ ) = ℏ 2 κ 2 2 m ⋅ ℏ 2 G 2 4 m ∣ U ∣ = ℏ 2 κ 2 2 m ⋅ 2 ε B ∣ U ∣ x^2/(2|U|)=\frac{\hbar^2\kappa^2}{2m}\cdot\frac{\hbar^2G^2}{4m|U|}=\frac{\hbar^2\kappa^2}{2m}\cdot\frac{2\varepsilon_B}{|U|} x 2 / ( 2∣ U ∣ ) = 2 m ℏ 2 κ 2 ⋅ 4 m ∣ U ∣ ℏ 2 G 2 = 2 m ℏ 2 κ 2 ⋅ ∣ U ∣ 2 ε B ℏ 2 G 2 / 4 m = 2 ε B \hbar^2G^2/4m=2\varepsilon_B ℏ 2 G 2 /4 m = 2 ε B ε B ≫ ∣ U ∣ \varepsilon_B\gg|U| ε B ≫ ∣ U ∣ ± 2 ε B / ∣ U ∣ \pm2\varepsilon_B/|U| ± 2 ε B /∣ U ∣
∎ ほぼ自由な電子の模型は、アルカリ金属・アルミニウムなどの金属でよい近似を与えます。さらに、ギャップが開くことで、金属から絶縁体への変化（バンドが 2 つに分かれ、価電子数に応じて満杯になる）が見えます。たとえば 2 価の金属は、単位胞あたり 2 個の電子で 1 つのバンドが満ちて絶縁体になりそうですが、ギャップが小さいと次のバンドにはみ出し、金属（半金属）になります。
反対の極限は、原子がほとんど孤立していて、電子が各原子の軌道に強く束縛されている場合です。電子が隣の原子に飛び移る（ホッピング ）効果だけを摂動的に取り入れます。
定義 4.1 （強束縛模型 ） ↗
間隔 a a a n n n ∣ n ⟩ |n\rangle ∣ n ⟩
H = ∑ n [ ε 0 ∣ n ⟩ ⟨ n ∣ − t ( ∣ n ⟩ ⟨ n + 1 ∣ + ∣ n + 1 ⟩ ⟨ n ∣ ) ] H=\sum_n\left[\varepsilon_0|n\rangle\langle n|-t\left(|n\rangle\langle n+1|+|n+1\rangle\langle n|\right)\right] H = n ∑ [ ε 0 ∣ n ⟩ ⟨ n ∣ − t ( ∣ n ⟩ ⟨ n + 1∣ + ∣ n + 1 ⟩ ⟨ n ∣ ) ] を最近接強束縛模型 という。ε 0 \varepsilon_0 ε 0 t > 0 t>0 t > 0 ホッピング振幅 である。周期境界条件 ∣ n + N ⟩ = ∣ n ⟩ |n+N\rangle=|n\rangle ∣ n + N ⟩ = ∣ n ⟩
定理 4.2 （強束縛鎖のバンド ） ✓
強束縛鎖の固有状態は Bloch 和
∣ k ⟩ = 1 N ∑ n e i k n a ∣ n ⟩ , k = 2 π j N a ( j = 0 , … , N − 1 ) |k\rangle=\frac1{\sqrt N}\sum_ne^{ikna}|n\rangle,\qquad k=\frac{2\pi j}{Na}\ (j=0,\ldots,N-1) ∣ k ⟩ = N 1 n ∑ e ik na ∣ n ⟩ , k = N a 2 π j ( j = 0 , … , N − 1 ) で、エネルギーは
ε ( k ) = ε 0 − 2 t cos k a \varepsilon(k)=\varepsilon_0-2t\cos ka ε ( k ) = ε 0 − 2 t cos k a である。バンドは区間 [ ε 0 − 2 t , ε 0 + 2 t ] [\varepsilon_0-2t,\varepsilon_0+2t] [ ε 0 − 2 t , ε 0 + 2 t ] 4 t 4t 4 t N N N k k k
証明（定理 4.2） H ∣ k ⟩ H|k\rangle H ∣ k ⟩ ∣ n ⟩ |n\rangle ∣ n ⟩ 1 N [ ε 0 e i k n a − t ( e i k ( n + 1 ) a + e i k ( n − 1 ) a ) ] = 1 N ( ε 0 − 2 t cos k a ) e i k n a \frac1{\sqrt N}\left[\varepsilon_0e^{ikna}-t\left(e^{ik(n+1)a}+e^{ik(n-1)a}\right)\right]=\frac{1}{\sqrt N}(\varepsilon_0-2t\cos ka)e^{ikna} N 1 [ ε 0 e ik na − t ( e ik ( n + 1 ) a + e ik ( n − 1 ) a ) ] = N 1 ( ε 0 − 2 t cos k a ) e ik na e i k a + e − i k a = 2 cos k a e^{ika}+e^{-ika}=2\cos ka e ik a + e − ik a = 2 cos k a ( ε 0 − 2 t cos k a ) ∣ k ⟩ (\varepsilon_0-2t\cos ka)\,|k\rangle ( ε 0 − 2 t cos k a ) ∣ k ⟩ ∣ n ⟩ |n\rangle ∣ n ⟩ e i k N a = 1 e^{ikNa}=1 e ik N a = 1 k k k k k k N N N N N N
∎ 物理的な内容は次の 3 点です。第 1 に、孤立原子の 1 つの準位 ε 0 \varepsilon_0 ε 0 N N N 4 t 4t 4 t k = 0 k=0 k = 0 ε ≃ ε 0 − 2 t + t a 2 k 2 \varepsilon\simeq\varepsilon_0-2t+ta^2k^2 ε ≃ ε 0 − 2 t + t a 2 k 2 ℏ 2 k 2 / 2 m \hbar^2k^2/2m ℏ 2 k 2 /2 m m ∗ = ℏ 2 / ( 2 t a 2 ) m^*=\hbar^2/(2ta^2) m ∗ = ℏ 2 / ( 2 t a 2 ) k = ± π / a k=\pm\pi/a k = ± π / a
t t t t 原子軌道 φ(x − na) 隣り合う軌道の重なり → ホッピング t 右図の破線：バンド底の放物線近似 ε₀ − 2t + t a² k²（有効質量を与える） −π/a 0 π/a ε₀ + 2t ε₀ − 2t ε 帯幅 4t 強束縛近似。左：隣り合う原子軌道の間のホッピング t。右：1 次元鎖のバンド ε(k) = ε₀ − 2t cos ka。幅は 4t で、バンド底の近くは破線の放物線で近似できる。 3 次元の単純立方格子では、同様にして ε ( k ) = ε 0 − 2 t ( cos k x a + cos k y a + cos k z a ) \varepsilon(\boldsymbol{k})=\varepsilon_0-2t(\cos k_xa+\cos k_ya+\cos k_za) ε ( k ) = ε 0 − 2 t ( cos k x a + cos k y a + cos k z a ) 12 t 12t 12 t ε = ε 0 − 2 t ( cos k x a + cos k y a ) \varepsilon=\varepsilon_0-2t(\cos k_xa+\cos k_ya) ε = ε 0 − 2 t ( cos k x a + cos k y a ) ε = ε 0 \varepsilon=\varepsilon_0 ε = ε 0 cos k x a + cos k y a = 0 \cos k_xa+\cos k_ya=0 cos k x a + cos k y a = 0 ∣ k x ∣ + ∣ k y ∣ = π / a |k_x|+|k_y|=\pi/a ∣ k x ∣ + ∣ k y ∣ = π / a ネスティング （フェルミ面の平行な部分）は、第 4 章の磁性で重要になります。
命題 4.4 （強束縛鎖の状態密度 ） ✓
強束縛鎖（スピンを込めて）の状態密度は、バンド内 ∣ ε − ε 0 ∣ < 2 t |\varepsilon-\varepsilon_0|<2t ∣ ε − ε 0 ∣ < 2 t
D ( ε ) = 2 N π 4 t 2 − ( ε − ε 0 ) 2 D(\varepsilon)=\frac{2N}{\pi\sqrt{4t^2-(\varepsilon-\varepsilon_0)^2}} D ( ε ) = π 4 t 2 − ( ε − ε 0 ) 2 2 N で、バンド端 ε − ε 0 = ± 2 t \varepsilon-\varepsilon_0=\pm2t ε − ε 0 = ± 2 t 1 / 1/\sqrt{\ } 1/
証明（命題 4.4） k k k L = N a L=Na L = N a L / 2 π L/2\pi L /2 π 定理 5.1［結晶構造と格子振動］ ）。スピンを込めた ε \varepsilon ε ε + d ε \varepsilon+d\varepsilon ε + d ε ± k \pm k ± k 2 ⋅ 2 ⋅ L 2 π d k d ε d ε 2\cdot2\cdot\frac L{2\pi}\frac{dk}{d\varepsilon}d\varepsilon 2 ⋅ 2 ⋅ 2 π L d ε d k d ε d ε d k = 2 t a sin k a \frac{d\varepsilon}{dk}=2ta\sin ka d k d ε = 2 t a sin k a 2 t sin k a = 4 t 2 − ( ε − ε 0 ) 2 2t\sin ka=\sqrt{4t^2-(\varepsilon-\varepsilon_0)^2} 2 t sin k a = 4 t 2 − ( ε − ε 0 ) 2 D = 2 L π ⋅ 1 a 4 t 2 − ( ε − ε 0 ) 2 = 2 N π 4 t 2 − ( ε − ε 0 ) 2 D=\frac{2L}{\pi}\cdot\frac1{a\sqrt{4t^2-(\varepsilon-\varepsilon_0)^2}}=\frac{2N}{\pi\sqrt{4t^2-(\varepsilon-\varepsilon_0)^2}} D = π 2 L ⋅ a 4 t 2 − ( ε − ε 0 ) 2 1 = π 4 t 2 − ( ε − ε 0 ) 2 2 N ∫ D d ε = 2 N π ⋅ π = 2 N \int D\,d\varepsilon=\frac{2N}\pi\cdot\pi=2N ∫ D d ε = π 2 N ⋅ π = 2 N 命題 2.2 と一致します。
∎ 自由電子では 1 次元の D ∝ ε − 1 / 2 D\propto\varepsilon^{-1/2} D ∝ ε − 1/2 ∂ ε / ∂ k = 0 \partial\varepsilon/\partial k=0 ∂ ε / ∂ k = 0
一様な電場 E \boldsymbol{E} E − e -e − e 静電ポテンシャル は + e E ⋅ r +e\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{r} + e E ⋅ r ベクトルポテンシャル A ( t ) = − E t \boldsymbol{A}(t)=-\boldsymbol{E}t A ( t ) = − E t
H ( t ) = ( p + e A ( t ) ) 2 2 m + V ( r ) H(t)=\frac{(\boldsymbol{p}+e\boldsymbol{A}(t))^2}{2m}+V(\boldsymbol{r}) H ( t ) = 2 m ( p + e A ( t ) ) 2 + V ( r ) で、t t t
定理 5.1 （半古典的運動方程式 ） ✓
上の H ( t ) H(t) H ( t ) t = 0 t=0 t = 0 ψ n k 0 \psi_{n\boldsymbol{k}_0} ψ n k 0 n n n n n n
ℏ k ˙ = − e E , k ( t ) = k 0 − e E ℏ t , ⟨ v ⟩ = 1 ℏ ∂ ε n ∂ k ∣ k ( t ) \hbar\dot{\boldsymbol{k}}=-e\boldsymbol{E},\qquad\boldsymbol{k}(t)=\boldsymbol{k}_0-\frac{e\boldsymbol{E}}\hbar t,\qquad\langle\boldsymbol{v}\rangle=\frac1\hbar\frac{\partial\varepsilon_n}{\partial\boldsymbol{k}}\Big|_{\boldsymbol{k}(t)} ℏ k ˙ = − e E , k ( t ) = k 0 − ℏ e E t , ⟨ v ⟩ = ℏ 1 ∂ k ∂ ε n k ( t ) に従う（速度の補正は電場の 1 次で、第 6 章の Berry 曲率による異常速度）。
断熱近似とは、条件（ここでは k \boldsymbol{k} k k \boldsymbol{k} k
証明（定理 5.1） H ( t ) H(t) H ( t ) k 0 \boldsymbol{k}_0 k 0 ψ = e i k 0 ⋅ r u ( t ) \psi=e^{i\boldsymbol{k}_0\cdot\boldsymbol{r}}u(t) ψ = e i k 0 ⋅ r u ( t ) p → p + ℏ k 0 \boldsymbol{p}\to\boldsymbol{p}+\hbar\boldsymbol{k}_0 p → p + ℏ k 0 u u u
i ℏ ∂ t u = [ ( p + ℏ k 0 + e A ( t ) ) 2 2 m + V ] u = H ( k ( t ) ) u , k ( t ) = k 0 + e ℏ A ( t ) = k 0 − e E ℏ t i\hbar\,\partial_tu=\left[\frac{(\boldsymbol{p}+\hbar\boldsymbol{k}_0+e\boldsymbol{A}(t))^2}{2m}+V\right]u=H\!\left(\boldsymbol{k}(t)\right)u,\qquad\boldsymbol{k}(t)=\boldsymbol{k}_0+\frac e\hbar\boldsymbol{A}(t)=\boldsymbol{k}_0-\frac{e\boldsymbol{E}}\hbar t i ℏ ∂ t u = [ 2 m ( p + ℏ k 0 + e A ( t ) ) 2 + V ] u = H ( k ( t ) ) u , k ( t ) = k 0 + ℏ e A ( t ) = k 0 − ℏ e E t を満たします（H ( k ) H(\boldsymbol{k}) H ( k ) k \boldsymbol{k} k H ( k ) H(\boldsymbol{k}) H ( k ) n n n u n , k ( t ) u_{n,\boldsymbol{k}(t)} u n , k ( t ) k ( t ) \boldsymbol{k}(t) k ( t ) ℏ k ˙ = − e E \hbar\dot{\boldsymbol{k}}=-e\boldsymbol{E} ℏ k ˙ = − e E 命題 2.4 を瞬間の波数 k ( t ) \boldsymbol{k}(t) k ( t )
∎ 運動方程式が Newton の第 2 法則 p ˙ = F \dot{\boldsymbol{p}}=\boldsymbol{F} p ˙ = F ℏ k \hbar\boldsymbol{k} ℏ k 結晶運動量 （定理 2.1 の後の議論）であって、実際の運動量ではありません。格子が電子に及ぼす力は、ε n ( k ) \varepsilon_n(\boldsymbol{k}) ε n ( k )
電場をかけると k \boldsymbol{k} k k ∼ k + G \boldsymbol{k}\sim\boldsymbol{k}+\boldsymbol{G} k ∼ k + G ℏ − 1 ∂ ε / ∂ k \hbar^{-1}\partial\varepsilon/\partial k ℏ − 1 ∂ ε / ∂ k Bloch 振動 とよばれる往復運動をします（散乱が速くてふつうの金属では観測されない）。
定義 5.2 （有効質量 ） ↗
バンド n n n ∂ ε n / ∂ k = 0 \partial\varepsilon_n/\partial\boldsymbol{k}=0 ∂ ε n / ∂ k = 0 有効質量テンソル を
( 1 m ∗ ) i j = 1 ℏ 2 ∂ 2 ε n ∂ k i ∂ k j \left(\frac1{m^*}\right)_{ij}=\frac1{\hbar^2}\frac{\partial^2\varepsilon_n}{\partial k_i\partial k_j} ( m ∗ 1 ) ij = ℏ 2 1 ∂ k i ∂ k j ∂ 2 ε n と定義する。1 次元では m ∗ = ℏ 2 ( ∂ 2 ε / ∂ k 2 ) − 1 m^*=\hbar^2\left(\partial^2\varepsilon/\partial k^2\right)^{-1} m ∗ = ℏ 2 ( ∂ 2 ε / ∂ k 2 ) − 1
命題 5.3 （有効質量による Newton 方程式 ） ✓
定理 5.1 の電子（外力 F = − e E \boldsymbol{F}=-e\boldsymbol{E} F = − e E
v ˙ i = ∑ j ( 1 m ∗ ) i j F j \dot v_i=\sum_j\left(\frac1{m^*}\right)_{ij}F_j v ˙ i = j ∑ ( m ∗ 1 ) ij F j である。1 次元では m ∗ v ˙ = F m^*\,\dot v=F m ∗ v ˙ = F
証明（命題 5.3） v i = ℏ − 1 ∂ ε / ∂ k i v_i=\hbar^{-1}\partial\varepsilon/\partial k_i v i = ℏ − 1 ∂ ε / ∂ k i v ˙ i = ℏ − 1 ∑ j ∂ 2 ε ∂ k i ∂ k j k ˙ j \dot v_i=\hbar^{-1}\sum_j\frac{\partial^2\varepsilon}{\partial k_i\partial k_j}\dot k_j v ˙ i = ℏ − 1 ∑ j ∂ k i ∂ k j ∂ 2 ε k ˙ j 定理 5.1 の ℏ k ˙ j = F j \hbar\dot k_j=F_j ℏ k ˙ j = F j v ˙ i = ℏ − 2 ∑ j ∂ i ∂ j ε F j \dot v_i=\hbar^{-2}\sum_j\partial_i\partial_j\varepsilon\,F_j v ˙ i = ℏ − 2 ∑ j ∂ i ∂ j ε F j
∎ 有効質量はバンドの曲率で決まるので、負にもなります 。たとえば強束縛鎖では、底で m ∗ = ℏ 2 / ( 2 t a 2 ) > 0 m^*=\hbar^2/(2ta^2)>0 m ∗ = ℏ 2 / ( 2 t a 2 ) > 0 m ∗ = − ℏ 2 / ( 2 t a 2 ) < 0 m^*=-\hbar^2/(2ta^2)<0 m ∗ = − ℏ 2 / ( 2 t a 2 ) < 0 m ∗ m^* m ∗ m m m m ∗ ∼ 0.1 m m^*\sim0.1m m ∗ ∼ 0.1 m m ∗ ∼ 100 m m^*\sim100m m ∗ ∼ 100 m D ( ε F ) ∝ m ∗ D(\varepsilon_F)\propto m^* D ( ε F ) ∝ m ∗ D ( ε F ) D(\varepsilon_F) D ( ε F ) 定理 4.1［自由電子気体］ がそのまま使えます）。
ほとんど満杯のバンドから電子が 1 個欠けた状態（空席の波数 k h \boldsymbol{k}_h k h
命題 5.4 （正孔 ） ✓
満杯のバンドから波数 k h \boldsymbol{k}_h k h + e +e + e v h = ℏ − 1 ∂ ε n / ∂ k ∣ k h \boldsymbol{v}_h=\hbar^{-1}\partial\varepsilon_n/\partial\boldsymbol{k}|_{\boldsymbol{k}_h} v h = ℏ − 1 ∂ ε n / ∂ k ∣ k h − ℏ k h -\hbar\boldsymbol{k}_h − ℏ k h − ε n ( k h ) -\varepsilon_n(\boldsymbol{k}_h) − ε n ( k h ) 正孔 ）として振る舞う。バンドの頂上付近では ε n \varepsilon_n ε n m h ∗ = − m ∗ > 0 m_h^*=-m^*>0 m h ∗ = − m ∗ > 0
ねらいは、たくさんの電子の動きを「抜けた 1 席」だけの動きに言いかえることです。満杯のバンドは全体として電流を運びません（命題 2.5 ）。したがって、満杯の状態から電子を 1 個引いた状態の電荷・波数・エネルギーは、その電子がもっていた量に負の符号を付けたものになります。符号が電子と逆になるのは、この引き算のためです。
電場をかける前 電場をかけた後 空席 空席は 1 席左へ 電子は全員 1 席左へ（左端の席は右端に回り込む） 正孔の描像。ほぼ満杯のバンドで、波数 k の席が横に並ぶ（●は電子、点線の○は空席）。電場をかけると全員の k が同じ向きに 1 席ぶんずれ、空席も同じ向きにずれる。実際の電流は、空席が電荷 +e の粒子としてもつ電流に等しい。 証明（命題 5.4） 電流は j = − e V ∑ k ≠ k h v ( k ) \boldsymbol{j}=-\frac eV\sum_{\boldsymbol{k}\neq\boldsymbol{k}_h}\boldsymbol{v}(\boldsymbol{k}) j = − V e ∑ k = k h v ( k ) 命題 2.5 より ∑ 全 k v = 0 \sum_{\text{全}\boldsymbol{k}}\boldsymbol{v}=0 ∑ 全 k v = 0 j = + e V v ( k h ) \boldsymbol{j}=+\frac eV\boldsymbol{v}(\boldsymbol{k}_h) j = + V e v ( k h ) + e +e + e v ( k h ) \boldsymbol{v}(\boldsymbol{k}_h) v ( k h ) k h \boldsymbol{k}_h k h ℏ k ˙ h = − e E \hbar\dot{\boldsymbol{k}}_h=-e\boldsymbol{E} ℏ k ˙ h = − e E v ˙ h = ℏ − 2 ∂ 2 ε ⋅ ( − e E ) = 1 m ∗ ( − e E ) = 1 − m ∗ ( + e E ) \dot{\boldsymbol{v}}_h=\hbar^{-2}\partial^2\varepsilon\cdot(-e\boldsymbol{E})=\frac{1}{m^*}(-e\boldsymbol{E})=\frac{1}{-m^*}(+e\boldsymbol{E}) v ˙ h = ℏ − 2 ∂ 2 ε ⋅ ( − e E ) = m ∗ 1 ( − e E ) = − m ∗ 1 ( + e E ) + e +e + e − m ∗ -m^* − m ∗ m ∗ < 0 m^*<0 m ∗ < 0 − m ∗ > 0 -m^*>0 − m ∗ > 0 − ε n ( k h ) -\varepsilon_n(\boldsymbol{k}_h) − ε n ( k h ) 0 0 0 k h \boldsymbol{k}_h k h − k h -\boldsymbol{k}_h − k h
∎ 前章で見た、正の Hall 係数をもつ金属（Zn、Cd、Al など）の謎が、これで解けます。それらのフェルミ面の一部（ほぼ満杯のバンドの空席）では、電気を運ぶキャリアは正孔なのです。Hall 係数の符号は、電子的フェルミ面と正孔的フェルミ面のどちらが優勢かで決まります。
定義 6.1 （半導体 ） ↗
T = 0 T=0 T = 0 E g = E c − E v E_g=E_c-E_v E g = E c − E v E c E_c E c E v E_v E v k B T k_BT k B T E g ≲ 3 e V E_g\lesssim3\ \mathrm{eV} E g ≲ 3 eV 半導体 という。
伝導帯の底と価電子帯の頂上の近傍が放物線的で ε c = E c + ℏ 2 k 2 / 2 m e ∗ \varepsilon_c=E_c+\hbar^2k^2/2m_e^* ε c = E c + ℏ 2 k 2 /2 m e ∗ ε v = E v − ℏ 2 k 2 / 2 m h ∗ \varepsilon_v=E_v-\hbar^2k^2/2m_h^* ε v = E v − ℏ 2 k 2 /2 m h ∗ 放物線近似 ）。
定理 6.2 （半導体のキャリア密度と質量作用の法則 ） ✓
E c − μ ≫ k B T E_c-\mu\gg k_BT E c − μ ≫ k B T μ − E v ≫ k B T \mu-E_v\gg k_BT μ − E v ≫ k B T 非縮退 ）のとき、伝導帯の電子密度 n n n p p p
n = N c e − ( E c − μ ) / k B T , p = N v e − ( μ − E v ) / k B T , N c , v = 2 ( m e , h ∗ k B T 2 π ℏ 2 ) 3 / 2 n=N_c\,e^{-(E_c-\mu)/k_BT},\qquad p=N_v\,e^{-(\mu-E_v)/k_BT},\qquad
N_{c,v}=2\left(\frac{m_{e,h}^*k_BT}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2} n = N c e − ( E c − μ ) / k B T , p = N v e − ( μ − E v ) / k B T , N c , v = 2 ( 2 π ℏ 2 m e , h ∗ k B T ) 3/2 で与えられ、積は化学ポテンシャルによらない：
n p = N c N v e − E g / k B T ( 質量作用の法則 ) . np=N_cN_v\,e^{-E_g/k_BT}\ \ (\text{質量作用の法則}). n p = N c N v e − E g / k B T ( 質量作用の法則 ) . 真性半導体（n = p = n i n=p=n_i n = p = n i
n i = N c N v e − E g / 2 k B T , μ = E c + E v 2 + 3 4 k B T ln m h ∗ m e ∗ n_i=\sqrt{N_cN_v}\,e^{-E_g/2k_BT},\qquad\mu=\frac{E_c+E_v}2+\frac34k_BT\ln\frac{m_h^*}{m_e^*} n i = N c N v e − E g /2 k B T , μ = 2 E c + E v + 4 3 k B T ln m e ∗ m h ∗ である。
証明（定理 6.2） 伝導帯の電子密度は、状態密度 D c ( ε ) / V = 1 2 π 2 ( 2 m e ∗ ℏ 2 ) 3 / 2 ε − E c D_c(\varepsilon)/V=\frac1{2\pi^2}\left(\frac{2m_e^*}{\hbar^2}\right)^{3/2}\sqrt{\varepsilon-E_c} D c ( ε ) / V = 2 π 2 1 ( ℏ 2 2 m e ∗ ) 3/2 ε − E c 定理 3.6［自由電子気体］ の質量を m e ∗ m_e^* m e ∗ E c E_c E c f ( ε ) = [ e ( ε − μ ) / k B T + 1 ] − 1 ≃ e − ( ε − μ ) / k B T f(\varepsilon)=[e^{(\varepsilon-\mu)/k_BT}+1]^{-1}\simeq e^{-(\varepsilon-\mu)/k_BT} f ( ε ) = [ e ( ε − μ ) / k B T + 1 ] − 1 ≃ e − ( ε − μ ) / k B T 命題 5.2［量子統計］ の古典極限と同じ）、
n = 1 2 π 2 ( 2 m e ∗ ℏ 2 ) 3 / 2 e − ( E c − μ ) / k B T ∫ 0 ∞ x e − x / k B T d x . n=\frac1{2\pi^2}\left(\frac{2m_e^*}{\hbar^2}\right)^{3/2}e^{-(E_c-\mu)/k_BT}\int_0^\infty\sqrt x\,e^{-x/k_BT}dx . n = 2 π 2 1 ( ℏ 2 2 m e ∗ ) 3/2 e − ( E c − μ ) / k B T ∫ 0 ∞ x e − x / k B T d x . ∫ 0 ∞ x e − x / k B T d x = ( k B T ) 3 / 2 Γ ( 3 / 2 ) = π 2 ( k B T ) 3 / 2 \int_0^\infty\sqrt xe^{-x/k_BT}dx=(k_BT)^{3/2}\Gamma(3/2)=\frac{\sqrt\pi}2(k_BT)^{3/2} ∫ 0 ∞ x e − x / k B T d x = ( k B T ) 3/2 Γ ( 3/2 ) = 2 π ( k B T ) 3/2 π 4 π 2 ( 2 m e ∗ k B T ℏ 2 ) 3 / 2 = 2 ( m e ∗ k B T 2 π ℏ 2 ) 3 / 2 = N c \frac{\sqrt\pi}{4\pi^2}\left(\frac{2m_e^*k_BT}{\hbar^2}\right)^{3/2}=2\left(\frac{m_e^*k_BT}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2}=N_c 4 π 2 π ( ℏ 2 2 m e ∗ k B T ) 3/2 = 2 ( 2 π ℏ 2 m e ∗ k B T ) 3/2 = N c
正孔密度は、価電子帯の空席の確率 1 − f = [ e ( μ − ε ) / k B T + 1 ] − 1 ≃ e − ( μ − ε ) / k B T 1-f=[e^{(\mu-\varepsilon)/k_BT}+1]^{-1}\simeq e^{-(\mu-\varepsilon)/k_BT} 1 − f = [ e ( μ − ε ) / k B T + 1 ] − 1 ≃ e − ( μ − ε ) / k B T m h ∗ m_h^* m h ∗ p = N v e − ( μ − E v ) / k B T p=N_ve^{-(\mu-E_v)/k_BT} p = N v e − ( μ − E v ) / k B T n p = N c N v e − ( E c − E v ) / k B T np=N_cN_ve^{-(E_c-E_v)/k_BT} n p = N c N v e − ( E c − E v ) / k B T μ \mu μ n = p n=p n = p n i 2 = n p n_i^2=np n i 2 = n p n i n_i n i n = p n=p n = p ln N c − E c − μ k B T = ln N v − μ − E v k B T \ln N_c-\frac{E_c-\mu}{k_BT}=\ln N_v-\frac{\mu-E_v}{k_BT} ln N c − k B T E c − μ = ln N v − k B T μ − E v μ \mu μ μ = E c + E v 2 + k B T 2 ln N v N c \mu=\frac{E_c+E_v}2+\frac{k_BT}2\ln\frac{N_v}{N_c} μ = 2 E c + E v + 2 k B T ln N c N v N v / N c = ( m h ∗ / m e ∗ ) 3 / 2 N_v/N_c=(m_h^*/m_e^*)^{3/2} N v / N c = ( m h ∗ / m e ∗ ) 3/2
∎ 例 6.3 （シリコンの真性キャリア密度 ）
T = 300 K T=300\ \mathrm{K} T = 300 K 2 ( m k B T 2 π ℏ 2 ) 3 / 2 = 2.51 × 10 25 m − 3 2\left(\frac{mk_BT}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2}=2.51\times10^{25}\ \mathrm{m^{-3}} 2 ( 2 π ℏ 2 m k B T ) 3/2 = 2.51 × 1 0 25 m − 3 m m m m e ∗ ≈ 1.08 m m_e^*\approx1.08m m e ∗ ≈ 1.08 m m h ∗ ≈ 0.56 m m_h^*\approx0.56m m h ∗ ≈ 0.56 m N c = 2.51 × 10 25 × 1.08 3 / 2 = 2.8 × 10 25 m − 3 N_c=2.51\times10^{25}\times1.08^{3/2}=2.8\times10^{25}\ \mathrm{m^{-3}} N c = 2.51 × 1 0 25 × 1.0 8 3/2 = 2.8 × 1 0 25 m − 3 N v = 2.51 × 10 25 × 0.56 3 / 2 = 1.05 × 10 25 m − 3 N_v=2.51\times10^{25}\times0.56^{3/2}=1.05\times10^{25}\ \mathrm{m^{-3}} N v = 2.51 × 1 0 25 × 0.5 6 3/2 = 1.05 × 1 0 25 m − 3 N c N v = 1.7 × 10 25 m − 3 \sqrt{N_cN_v}=1.7\times10^{25}\ \mathrm{m^{-3}} N c N v = 1.7 × 1 0 25 m − 3 E g = 1.12 e V E_g=1.12\ \mathrm{eV} E g = 1.12 eV k B T = 0.02585 e V k_BT=0.02585\ \mathrm{eV} k B T = 0.02585 eV e − E g / 2 k B T = e − 21.7 = 3.9 × 10 − 10 e^{-E_g/2k_BT}=e^{-21.7}=3.9\times10^{-10} e − E g /2 k B T = e − 21.7 = 3.9 × 1 0 − 10
n i ≈ 1.7 × 10 25 × 3.9 × 10 − 10 = 6.7 × 10 15 m − 3 = 6.7 × 10 9 c m − 3 . n_i\approx1.7\times10^{25}\times3.9\times10^{-10}=6.7\times10^{15}\ \mathrm{m^{-3}}=6.7\times10^{9}\ \mathrm{cm^{-3}} . n i ≈ 1.7 × 1 0 25 × 3.9 × 1 0 − 10 = 6.7 × 1 0 15 m − 3 = 6.7 × 1 0 9 c m − 3 . 実測は約 1 × 10 10 c m − 3 1\times10^{10}\ \mathrm{cm^{-3}} 1 × 1 0 10 c m − 3 5 × 10 22 c m − 3 5\times10^{22}\ \mathrm{cm^{-3}} 5 × 1 0 22 c m − 3 10 − 13 10^{-13} 1 0 − 13 T T T e − E g / 2 k B T e^{-E_g/2k_BT} e − E g /2 k B T 電気抵抗が温度とともに減少する ことは、金属（フォノン散乱で抵抗が増加）と半導体の見分け方になります。
不純物原子を添加すると、キャリア密度を何桁も制御できます。たとえばシリコンにリン（5 価）を加えると、伝導帯の底のすぐ下（約 45 m e V 45\ \mathrm{meV} 45 meV ドナー準位 ができ、室温でほぼ全部が電離して電子を伝導帯に供給します（n 型）。
命題 6.4 （n 型半導体のキャリア密度 ） ✓
密度 N d N_d N d n = N d + p n=N_d+p n = N d + p n p = n i 2 np=n_i^2 n p = n i 2
n = N d 2 + N d 2 4 + n i 2 , p = n i 2 n n=\frac{N_d}2+\sqrt{\frac{N_d^2}4+n_i^2},\qquad p=\frac{n_i^2}n n = 2 N d + 4 N d 2 + n i 2 , p = n n i 2 である。N d ≫ n i N_d\gg n_i N d ≫ n i n ≃ N d n\simeq N_d n ≃ N d p ≃ n i 2 / N d p\simeq n_i^2/N_d p ≃ n i 2 / N d
証明（命題 6.4） p = n i 2 / n p=n_i^2/n p = n i 2 / n n = N d + p n=N_d+p n = N d + p n 2 − N d n − n i 2 = 0 n^2-N_dn-n_i^2=0 n 2 − N d n − n i 2 = 0 n = N d 2 + N d 2 4 + n i 2 n=\frac{N_d}2+\sqrt{\frac{N_d^2}{4}+n_i^2} n = 2 N d + 4 N d 2 + n i 2 N d ≫ n i N_d\gg n_i N d ≫ n i N d 2 / 4 + n i 2 ≃ N d / 2 \sqrt{N_d^2/4+n_i^2}\simeq N_d/2 N d 2 /4 + n i 2 ≃ N d /2 n ≃ N d n\simeq N_d n ≃ N d
∎ 例 6.5 （リンをドープしたシリコン ）
N d = 10 16 c m − 3 N_d=10^{16}\ \mathrm{cm^{-3}} N d = 1 0 16 c m − 3 n ≃ 10 16 c m − 3 n\simeq10^{16}\ \mathrm{cm^{-3}} n ≃ 1 0 16 c m − 3 p ≃ ( 10 10 ) 2 / 10 16 = 10 4 c m − 3 p\simeq(10^{10})^2/10^{16}=10^{4}\ \mathrm{cm^{-3}} p ≃ ( 1 0 10 ) 2 /1 0 16 = 1 0 4 c m − 3 n i ∼ 10 10 c m − 3 n_i\sim10^{10}\ \mathrm{cm^{-3}} n i ∼ 1 0 10 c m − 3 5 × 10 22 5\times10^{22} 5 × 1 0 22 2 × 10 − 7 2\times10^{-7} 2 × 1 0 − 7 σ = e ( n μ e + p μ h ) ≃ e n μ e \sigma=e(n\mu_e+p\mu_h)\simeq en\mu_e σ = e ( n μ e + p μ h ) ≃ e n μ e μ e \mu_e μ e
演習 7.1 標準
2 次元正方格子（格子定数 a a a ε ( k ) = ε 0 − 2 t ( cos k x a + cos k y a ) \varepsilon(\boldsymbol{k})=\varepsilon_0-2t(\cos k_xa+\cos k_ya) ε ( k ) = ε 0 − 2 t ( cos k x a + cos k y a )
解答 (1) cos \cos cos ± 1 \pm1 ± 1 ε ∈ [ ε 0 − 4 t , ε 0 + 4 t ] \varepsilon\in[\varepsilon_0-4t,\varepsilon_0+4t] ε ∈ [ ε 0 − 4 t , ε 0 + 4 t ] 8 t 8t 8 t
(2) 底は k = 0 \boldsymbol{k}=0 k = 0 cos θ ≃ 1 − θ 2 / 2 \cos\theta\simeq1-\theta^2/2 cos θ ≃ 1 − θ 2 /2 ε ≃ ε 0 − 4 t + t a 2 ( k x 2 + k y 2 ) \varepsilon\simeq\varepsilon_0-4t+ta^2(k_x^2+k_y^2) ε ≃ ε 0 − 4 t + t a 2 ( k x 2 + k y 2 ) 定義 5.2 より 1 m ∗ = 2 t a 2 ℏ 2 \frac1{m^*}=\frac{2ta^2}{\hbar^2} m ∗ 1 = ℏ 2 2 t a 2 m ∗ = ℏ 2 2 t a 2 m^*=\frac{\hbar^2}{2ta^2} m ∗ = 2 t a 2 ℏ 2
(3) 単位胞あたり 1 電子（スピンを込めて 2 状態中 1 つ）だから、バンドの半分が埋まります。ε ( k + ( π , π ) / a ) = 2 ε 0 − ε ( k ) \varepsilon(\boldsymbol{k}+(\pi,\pi)/a)=2\varepsilon_0-\varepsilon(\boldsymbol{k}) ε ( k + ( π , π ) / a ) = 2 ε 0 − ε ( k ) ε < ε 0 \varepsilon<\varepsilon_0 ε < ε 0 ε > ε 0 \varepsilon>\varepsilon_0 ε > ε 0 ε F = ε 0 \varepsilon_F=\varepsilon_0 ε F = ε 0 cos k x a + cos k y a = 0 \cos k_xa+\cos k_ya=0 cos k x a + cos k y a = 0 cos k y a = − cos k x a = cos ( π − k x a ) \cos k_ya=-\cos k_xa=\cos(\pi-k_xa) cos k y a = − cos k x a = cos ( π − k x a ) k y = ± ( π / a − k x ) k_y=\pm(\pi/a-k_x) k y = ± ( π / a − k x ) ∣ k x ∣ + ∣ k y ∣ = π / a |k_x|+|k_y|=\pi/a ∣ k x ∣ + ∣ k y ∣ = π / a ( π , π ) / a (\pi,\pi)/a ( π , π ) / a
演習 7.2 標準
1 次元で V ( x ) = 2 U cos ( 2 π x / a ) V(x)=2U\cos(2\pi x/a) V ( x ) = 2 U cos ( 2 π x / a ) U > 0 U>0 U > 0 k = π / a k=\pi/a k = π / a 2 U 2U 2 U
解答 G = 2 π / a G=2\pi/a G = 2 π / a U G = U − G = U U_G=U_{-G}=U U G = U − G = U V = U e i G x + U e − i G x V=Ue^{iGx}+Ue^{-iGx} V = U e i G x + U e − i G x k = π / a = G / 2 k=\pi/a=G/2 k = π / a = G /2 e i G x / 2 e^{iGx/2} e i G x /2 e − i G x / 2 e^{-iGx/2} e − i G x /2 定理 3.1 の証明の第 1 式は ( ε B − ε ) c k + U c k − G = 0 (\varepsilon_B-\varepsilon)c_k+Uc_{k-G}=0 ( ε B − ε ) c k + U c k − G = 0 ε = ε B + U \varepsilon=\varepsilon_B+U ε = ε B + U c k − G = c k c_{k-G}=c_k c k − G = c k e i G x / 2 + e − i G x / 2 ∝ cos ( π x / a ) e^{iGx/2}+e^{-iGx/2}\propto\cos(\pi x/a) e i G x /2 + e − i G x /2 ∝ cos ( π x / a ) ε = ε B − U \varepsilon=\varepsilon_B-U ε = ε B − U c k − G = − c k c_{k-G}=-c_k c k − G = − c k sin ( π x / a ) \sin(\pi x/a) sin ( π x / a ) ( ε B + U ) − ( ε B − U ) = 2 U (\varepsilon_B+U)-(\varepsilon_B-U)=2U ( ε B + U ) − ( ε B − U ) = 2 U ⟨ V ⟩ cos = + U \langle V\rangle_{\cos}=+U ⟨ V ⟩ c o s = + U ⟨ V ⟩ sin = − U \langle V\rangle_{\sin}=-U ⟨ V ⟩ s i n = − U
演習 7.3 易
強束縛鎖で、バンド全体が満杯（単位胞あたり 2 電子）の状態から、バンド頂上 k = π / a k=\pi/a k = π / a k h = π / a − κ k_h=\pi/a-\kappa k h = π / a − κ κ \kappa κ
解答 頂上の近くで ε = ε 0 + 2 t − t a 2 ( k − π / a ) 2 \varepsilon=\varepsilon_0+2t-ta^2(k-\pi/a)^2 ε = ε 0 + 2 t − t a 2 ( k − π / a ) 2 m ∗ = − ℏ 2 / ( 2 t a 2 ) m^*=-\hbar^2/(2ta^2) m ∗ = − ℏ 2 / ( 2 t a 2 ) 命題 5.4 より正孔の有効質量は m h ∗ = − m ∗ = ℏ 2 / ( 2 t a 2 ) > 0 m_h^*=-m^*=\hbar^2/(2ta^2)>0 m h ∗ = − m ∗ = ℏ 2 / ( 2 t a 2 ) > 0 v h = ℏ − 1 ∂ ε / ∂ k ∣ k h = ℏ − 1 ⋅ 2 t a 2 κ = ℏ κ / m h ∗ v_h=\hbar^{-1}\partial\varepsilon/\partial k|_{k_h}=\hbar^{-1}\cdot2ta^2\kappa=\hbar\kappa/m_h^* v h = ℏ − 1 ∂ ε / ∂ k ∣ k h = ℏ − 1 ⋅ 2 t a 2 κ = ℏ κ / m h ∗ κ = π / a − k h \kappa=\pi/a-k_h κ = π / a − k h ε t o p − ε ( k h ) = t a 2 κ 2 = ℏ 2 κ 2 / 2 m h ∗ \varepsilon_{\mathrm{top}}-\varepsilon(k_h)=ta^2\kappa^2=\hbar^2\kappa^2/2m_h^* ε top − ε ( k h ) = t a 2 κ 2 = ℏ 2 κ 2 /2 m h ∗ m h ∗ m_h^* m h ∗
演習 7.4 標準
温度 T T T m e ∗ = m h ∗ m_e^*=m_h^* m e ∗ = m h ∗ 定理 6.2 から示せ。ギャップが E g = 1.42 e V E_g=1.42\ \mathrm{eV} E g = 1.42 eV 300 K 300\ \mathrm{K} 300 K 400 K 400\ \mathrm{K} 400 K n i n_i n i N c N v ∝ T 3 N_cN_v\propto T^3 N c N v ∝ T 3
解答 m e ∗ = m h ∗ m_e^*=m_h^* m e ∗ = m h ∗ ln ( m h ∗ / m e ∗ ) = 0 \ln(m_h^*/m_e^*)=0 ln ( m h ∗ / m e ∗ ) = 0 μ = ( E c + E v ) / 2 \mu=(E_c+E_v)/2 μ = ( E c + E v ) /2 n i ∝ T 3 / 2 e − E g / 2 k B T n_i\propto T^{3/2}e^{-E_g/2k_BT} n i ∝ T 3/2 e − E g /2 k B T ( 400 300 ) 3 / 2 exp [ E g 2 k B ( 1 300 − 1 400 ) ] \left(\frac{400}{300}\right)^{3/2}\exp\left[\frac{E_g}{2k_B}\left(\frac1{300}-\frac1{400}\right)\right] ( 300 400 ) 3/2 exp [ 2 k B E g ( 300 1 − 400 1 ) ] E g 2 k B = 1.42 2 × 8.617 × 10 − 5 = 8240 K \frac{E_g}{2k_B}=\frac{1.42}{2\times8.617\times10^{-5}}=8240\ \mathrm{K} 2 k B E g = 2 × 8.617 × 1 0 − 5 1.42 = 8240 K 1 300 − 1 400 = 8.33 × 10 − 4 K − 1 \frac1{300}-\frac1{400}=8.33\times10^{-4}\ \mathrm{K^{-1}} 300 1 − 400 1 = 8.33 × 1 0 − 4 K − 1 6.87 6.87 6.87 e 6.87 = 960 e^{6.87}=960 e 6.87 = 960 ( 4 / 3 ) 1.5 = 1.54 (4/3)^{1.5}=1.54 ( 4/3 ) 1.5 = 1.54 1.5 × 10 3 1.5\times10^3 1.5 × 1 0 3
C. キッテル『キッテル 固体物理学入門』（上・下）丸善出版 — 電子のエネルギーバンド、半導体結晶、フェルミ面の各章。
N. W. Ashcroft and N. D. Mermin, Solid State Physics , Holt, Rinehart and Winston, 1976 — Chapters 8–10 (Bloch’s theorem, nearly free electron model, tight-binding), Chapters 12–13 (semiclassical model, semiclassical theory of conduction), Chapter 28 (semiconductors).
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