Bloch の定理

定理 2.1（「Bloch の定理とバンド理論」§2）・ ✓公理まで証明済み

上の設定で、 $H$ のエネルギー固有関数は、すべての $\boldsymbol{R}\in\Lambda$ について

\psi(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{R})=e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R}}\,\psi(\boldsymbol{r})

を満たす形に選べる。ここで $\boldsymbol{k}=\sum_i\frac{m_i}{N_i}\boldsymbol{b}_i$ （ $m_i\in\mathbb{Z}$ 、 $\boldsymbol{b}_i$ は逆格子の基本ベクトル）。同値な言い方をすると、

\psi_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r})=e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}u_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r}),\qquad u_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{R})=u_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r})

である。 $\boldsymbol{k}$ と $\boldsymbol{k}+\boldsymbol{G}$ （ $\boldsymbol{G}\in\Lambda^*$ ）は同じ並進の固有値を与える。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

可換なエルミート演算子は同時対角化できる✓定理 6.1・演算子と物理量
- エルミート演算子の固有値と固有ベクトル✓定理 3.5・演算子と物理量
  - エルミート演算子定義 3.2・演算子と物理量
逆格子の基本ベクトル✓命題 3.2・結晶構造と格子振動
逆格子定義 3.1・結晶構造と格子振動