Berry 曲率のゲージ不変性と表式

命題 4.2（「トポロジカル相」§4）・ ✓公理まで証明済み

(1) 位相の取り換え $|u'\rangle=e^{i\chi(\boldsymbol{k})}|u\rangle$ ( $\chi$ は滑らかな実関数) に対し $A_\mu'=A_\mu-\partial_\mu\chi$ 、 $F'=F$ 。

(2) $F=-2\operatorname{Im}\langle\partial_xu|\partial_yu\rangle=i\,\langle\partial_xu|\partial_yu\rangle-i\langle\partial_yu|\partial_xu\rangle$ 。

(3) $P=|u\rangle\langle u|$ （射影演算子）で $F=i\operatorname{Tr}\left(P\,[\partial_xP,\partial_yP]\right)$ 。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。