Mourre 評価と極限吸収原理：共役作用素・Virial 定理・局所減衰

0. この記事の要点

量子力学の粒子は、エネルギーによっては一か所に留まる（束縛される）こともあれば、遠くへ飛び去っていくこともあります。この記事の問いは、「飛び去るタイプの状態は、本当にきれいに飛び去るのか」ということです。古典力学では、粒子が遠ざかっていくとき、ある量（位置と運動量の積）が時間とともに増え続けます。この量に対応する作用素を取り、その時間変化の符号を見るだけで、そのエネルギー区間に固有値（束縛状態）が有限個しかないことや、飛び去る状態の振る舞いまで分かる、というのが Mourre の方法です。読み終えると、この「符号を見る」条件から何が導かれるかを、定理として説明できるようになります。

• 自己共役作用素 $H$ の連続スペクトルを調べる道具として、もう一つの自己共役作用素 $A$（共役作用素）を取り、交換子 $i[H,A]$ がエネルギー区間 $I$ 上で正であること、すなわち Mourre 評価 $E_I(H)\,i[H,A]\,E_I(H)\ge\theta E_I(H)+K$（$\theta>0$、$K$ はコンパクト）を確かめます。
• 固有ベクトル $\psi$ に対しては常に $\langle\psi,i[H,A]\psi\rangle=0$ です（Virial 定理）。これと Mourre 評価を組み合わせると、$I$ 内の固有値は多重度込みで有限個しかないことが直ちに従います。
• Mourre の定理: Mourre 評価が成り立つ区間では特異連続スペクトルがなく、固有値から離れたところで重み付きレゾルベント $\langle A\rangle^{-s}(H-\lambda\mp i0)^{-1}\langle A\rangle^{-s}$（$s>1/2$）が存在して連続です（極限吸収原理）。証明は、人工的な散逸 $-i\varepsilon M$ を加えたレゾルベントの $\varepsilon$ についての微分不等式によります。
• Schrödinger 作用素 $H=-\Delta+V$ ではディラテーション生成子（空間を一様に拡大・縮小する操作を生む作用素）$A=\frac12(x\cdot p+p\cdot x)$ が共役作用素になり、$i[H,A]=2(-\Delta)-x\cdot\nabla V$ から、正のエネルギーの任意の有界区間で Mourre 評価が成り立ちます。
• 極限吸収原理は Kato の平滑性 $\int\|Te^{-itH}\psi\|^2\,dt\le C\|\psi\|^2$ を与え、これが局所減衰評価と、短距離ポテンシャルでの漸近完全性の証明に直結します。

この記事で使う事前知識

• 自己共役作用素とスペクトル射影: 実数の固有値・スペクトルをもつ作用素で、区間 $I$ に対応する成分を取り出す射影が $E_I(H)$ です。→ 関数計算
• コンパクト作用素: 有界な集合を、点列が収束部分列をもつ集合に写す作用素。「ほぼ有限階数」の作用素のイメージです。→ コンパクト作用素
• 純点・絶対連続・特異連続スペクトル: 状態をスペクトル測度の種類（固有値の点、ルベーグ測度に対して密度をもつもの、そのどちらでもないもの）で三つに分ける分類です。→ 特異連続スペクトル
• 弱収束: すべてのベクトルとの内積が収束すること。ノルムで収束するよりも弱い収束です。→ 弱収束
• 閉作用素: グラフ（$\psi$ と $H\psi$ の組の集合）が閉じている作用素です。→ 閉作用素
• 波動作用素: 相互作用のある時間発展を、自由な時間発展と比べて遠い過去・未来で一致させる作用素です。→ 波動作用素

1. 動機

散乱理論の中心的な問いは「連続スペクトルに属する状態は本当に遠方へ散っていくか」です。波動作用素と漸近完全性で見たように、漸近完全性は $\mathrm{Ran}\,\Omega_\pm=\mathcal{H}_{\mathrm{ac}}(H)$ かつ $\mathcal{H}_{\mathrm{sc}}(H)=\{0\}$ という主張です（定義 5.1［波動作用素と漸近完全性］）。特異連続スペクトルの不在は、それだけで独立に示すべき性質です。前章のトレースクラス法（Kato–Rosenblum）は摂動が「小さい」（トレースクラス）ことを要求するので、多体系や長距離ポテンシャルには届きません。

1981 年に Mourre が導入した方法は発想が異なります。古典力学では、エネルギー $E>0$ の自由粒子について $\frac{d}{dt}(x\cdot p)=2|p|^2=2E>0$（ハミルトニアン $|p|^2$ のもとで $\dot x=2p$、$\dot p=0$） であり、$x\cdot p$ は時間とともに単調に増えます。粒子が遠方へ逃げることを「ある観測量が単調に増える」ことで捉えるわけです。量子力学では、Heisenberg の運動方程式から $\frac{d}{dt}\langle e^{-itH}\psi,Ae^{-itH}\psi\rangle=\langle e^{-itH}\psi,i[H,A]e^{-itH}\psi\rangle$ なので、交換子 $i[H,A]$ がエネルギー殻上で正なら $A$ の期待値が単調に増え、状態は束縛されていられません。Mourre 評価はこの「局所的な正値性」を、コンパクト誤差を許して定式化したものです。

この方法は摂動の大きさをほとんど問わず、$N$ 体 Schrödinger 作用素（Perry–Sigal–Simon）や場の量子論の模型にまで適用できます。以下では Cycon–Froese–Kirsch–Simon の教科書に近い形の仮定のもとで理論を組み立てます。

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