# Mourre 評価と極限吸収原理：共役作用素・Virial 定理・局所減衰
> 共役作用素 A に対する Mourre 評価を定義し、Virial 定理を証明して固有値の有限性を導く。Mourre の定理（特異連続スペクトルの不在と極限吸収原理）を述べて微分不等式による証明の筋道を示し、Kato の平滑性を経て局所減衰と漸近完全性へつなぐ。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/spectral-scattering/mourre-theory
## 0. この記事の要点
量子力学の粒子は、エネルギーによっては一か所に留まる（束縛される）こともあれば、遠くへ飛び去っていくこともあります。この記事の問いは、「飛び去るタイプの状態は、本当にきれいに飛び去るのか」ということです。古典力学では、粒子が遠ざかっていくとき、ある量（位置と運動量の積）が時間とともに増え続けます。この量に対応する作用素を取り、その時間変化の符号を見るだけで、そのエネルギー区間に固有値（束縛状態）が有限個しかないことや、飛び去る状態の振る舞いまで分かる、というのが Mourre の方法です。読み終えると、この「符号を見る」条件から何が導かれるかを、定理として説明できるようになります。
- [自己共役作用素](/mathematics/functional-analysis/self-adjoint-extensions#def-self-adjoint) $H$ の連続スペクトルを調べる道具として、もう一つの自己共役作用素 $A$（**共役作用素**）を取り、交換子 $i[H,A]$ がエネルギー区間 $I$ 上で正であること、すなわち **Mourre 評価** $E_I(H)\,i[H,A]\,E_I(H)\ge\theta E_I(H)+K$（$\theta>0$、$K$ は[コンパクト](/mathematics/functional-analysis/compact-operators#def-compact-operator)）を確かめます。
- 固有ベクトル $\psi$ に対しては常に $\langle\psi,i[H,A]\psi\rangle=0$ です（**Virial 定理**）。これと Mourre 評価を組み合わせると、$I$ 内の固有値は多重度込みで有限個しかないことが直ちに従います。
- **Mourre の定理**: Mourre 評価が成り立つ区間では[特異連続スペクトル](/mathematics/functional-analysis/spectrum-classification#def-pp-ac-sc-spectrum)がなく、固有値から離れたところで重み付きレゾルベント $\langle A\rangle^{-s}(H-\lambda\mp i0)^{-1}\langle A\rangle^{-s}$（$s>1/2$）が存在して連続です（**極限吸収原理**）。証明は、人工的な散逸 $-i\varepsilon M$ を加えたレゾルベントの $\varepsilon$ についての微分不等式によります。
- Schrödinger 作用素 $H=-\Delta+V$ ではディラテーション生成子（空間を一様に拡大・縮小する操作を生む作用素）$A=\frac12(x\cdot p+p\cdot x)$ が共役作用素になり、$i[H,A]=2(-\Delta)-x\cdot\nabla V$ から、正のエネルギーの任意の有界区間で Mourre 評価が成り立ちます。
- 極限吸収原理は Kato の平滑性 $\int\|Te^{-itH}\psi\|^2\,dt\le C\|\psi\|^2$ を与え、これが**局所減衰評価**と、短距離ポテンシャルでの**漸近完全性**の証明に直結します。
## 1. 動機
散乱理論の中心的な問いは「連続スペクトルに属する状態は本当に遠方へ散っていくか」です。[波動作用素と漸近完全性](/mathematics/spectral-scattering/wave-operators)で見たように、漸近完全性は $\mathrm{Ran}\,\Omega_\pm=\mathcal{H}_{\mathrm{ac}}(H)$ かつ $\mathcal{H}_{\mathrm{sc}}(H)=\{0\}$ という主張です（