場の模型の Mourre 理論と漸近完全性：dΓ(a) を共役にとる交換子評価と伝播評価

0. この記事の要点

原子のような小さな系に、質量をもつ粒子（ボソン）の場が結合しているとき、十分長い時間がたつと何が起こるでしょうか。結合が弱く、エネルギーがある特別な値（しきい値）を避けていれば、ボソンは系から遠ざかっていく、というのがこの記事の主題です。そのために「遠ざかる速さの下界」を表す不等式（Mourre 評価）をボソンの場について示し、そこから固有値がないことや、時間が十分たった後の粒子の振る舞いを導きます。

• 1 粒子空間 $L^2(\mathbb{R}^3_k)$ の膨張生成子 $a=\frac12(k\cdot y+y\cdot k)$（$y=i\nabla_k$）は $e^{-isa}h(k)e^{isa}=h(e^sk)$ を満たし、$i[h(k),a]=k\cdot\nabla h$ です。その第二量子化 $A=\mathrm{d}\Gamma(a)$ について $i[\mathrm{d}\Gamma(\omega),A]=\mathrm{d}\Gamma(k\cdot\nabla\omega)$、$i[\Phi(g),A]=\Phi(-iag)$ が成り立ちます。
• 有質量の自由場 $\omega(k)=\sqrt{k^2+m^2}$ では $k\cdot\nabla\omega=k^2/\omega\ge\omega-m$ なので、$i[H_{\mathrm f},A]\ge H_{\mathrm f}-mN$ です。これから、しきい値 $m\mathbb{N}_0$（静止したボソン $n$ 個のエネルギー）を避けた任意の区間で、定数 $\theta=\mathrm{dist}(I,m\mathbb{N}_0)$ の厳密な Mourre 評価が出ます。
• 閉じ込められた系（固有値 $e_j$）と有質量ボソンの結合系 $H=K\otimes1+1\otimes H_{\mathrm f}+\lambda Q\otimes\Phi(g)$ では、しきい値は $\mathcal{T}_0=\{e_j+nm\}$ になり、$\mathcal{T}_0$ から離れた区間では、結合定数が小さければ厳密な Mourre 評価が成り立ちます。帰結として、その区間に固有値はなく、スペクトルは純粋に絶対連続で、極限吸収原理が成り立ちます。
• Mourre 評価は伝播評価に変換されます。Heisenberg 微分 $\partial_t\Phi(t)+i[H,\Phi(t)]$ が下から正の量で押さえられれば、その量の時間積分は有限になる、という単純な補題が、局所減衰・最小速度評価の共通の骨格です。
• Dereziński–Gérard（有質量）と Fröhlich–Griesemer–Schlein（質量ゼロ、Rayleigh 散乱）の漸近完全性の証明は、(i) Mourre 評価、(ii) 伝播評価、(iii) 漸近粒子数と幾何学的逆波動作用素、という三段で組み立てられます。この章は (i) を完全に証明し、(ii) の骨格を与え、(iii) を主張として整理します。

この記事で使う事前知識

• 共役作用素: 与えられた作用素 $H$ との交換子 $i[H,A]$ を調べるために選ぶ作用素 $A$ のこと。→ 共役作用素
• Mourre 評価: エネルギー区間の上で $i[H,A]$ が（コンパクト作用素の違いを除いて）正の定数以上になる、という不等式。→ Mourre 評価
• 極限吸収原理: レゾルベントの境界値がエネルギー区間の上で（重み付きの空間で）存在するという性質。→ 極限吸収原理
• ボソン Fock 空間: ボソンが 0 個、1 個、2 個、…のときの状態空間を足し合わせた空間。→ ボソン Fock 空間
• 数作用素: Fock 空間の上で、ボソンの個数を測る作用素 $N$。→ 数作用素
• 波動作用素: 十分な時間がたった後の状態を、自由な運動と比べるための作用素。→ 波動作用素

1. 動機

場の量子論の模型の散乱理論の章では、漸近場の存在を Cook の方法で示し、漸近完全性（すべての状態が「束縛状態 + 自由に飛ぶボソン」に分解されること）は Dereziński–Gérard の定理（定理 4.8［場の量子論の模型の散乱理論］）として主張だけを述べました。その証明の中心にあるのが、Fock 空間上の Mourre 評価です。

Mourre 評価の考え方は「エネルギー殻の上で単調に増える観測量を見つける」ことでした。Schrödinger 作用素では膨張生成子 $\frac12(x\cdot p+p\cdot x)$ がその役を果たしました。場の模型では、ボソンが遠くへ飛んでいくことを捉えたいので、1 個のボソンの膨張生成子を全ボソンについて足し合わせた $\mathrm{d}\Gamma(a)$ を使います。ここで新しく現れるのがしきい値の構造です：有質量ボソンは静止していられる（$k=0$ で群速度 $\nabla\omega=0$）ので、「束縛状態のエネルギー + 静止ボソン $n$ 個の質量」のところで逃げる速度が $0$ になり、Mourre 評価が破れます。

この章では、抽象共役作用素法の結果を Fock 空間に適用します。そこで証明した極限吸収原理（定理 5.5［正則性クラスと抽象共役作用素法］）が、場の模型のスペクトルの絶対連続性を一挙に与えます。

ここから先は有料（買い切り ¥200）の内容です。

この章は博士課程以上・研究水準の内容です。続き（定義・定理・証明・例・演習）は ¥200 の買い切りで、他の有料章と 100 本ノックも含めてすべて読めます。無料の章は最後まで読めます。

購入する ログイン