# 場の模型の Mourre 理論と漸近完全性：dΓ(a) を共役にとる交換子評価と伝播評価
> ボソン Fock 空間で 1 粒子の膨張生成子の第二量子化 dΓ(a) を共役作用素にとり、有質量の自由場と閉じ込められた系との結合系について、しきい値 e_j + nm を避けた Mourre 評価を証明する。弱結合での固有値の不在と絶対連続性、伝播評価、Dereziński–Gérard と Fröhlich–Griesemer–Schlein の漸近完全性の骨格を述べる。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/spectral-scattering/field-model-mourre
## 0. この記事の要点
原子のような小さな系に、質量をもつ粒子（ボソン）の場が結合しているとき、十分長い時間がたつと何が起こるでしょうか。結合が弱く、エネルギーがある特別な値（しきい値）を避けていれば、ボソンは系から遠ざかっていく、というのがこの記事の主題です。そのために「遠ざかる速さの下界」を表す不等式（Mourre 評価）をボソンの場について示し、そこから固有値がないことや、時間が十分たった後の粒子の振る舞いを導きます。
- 1 粒子空間 $L^2(\mathbb{R}^3_k)$ の膨張生成子 $a=\frac12(k\cdot y+y\cdot k)$（$y=i\nabla_k$）は $e^{-isa}h(k)e^{isa}=h(e^sk)$ を満たし、$i[h(k),a]=k\cdot\nabla h$ です。その第二量子化 $A=\mathrm{d}\Gamma(a)$ について $i[\mathrm{d}\Gamma(\omega),A]=\mathrm{d}\Gamma(k\cdot\nabla\omega)$、$i[\Phi(g),A]=\Phi(-iag)$ が成り立ちます。
- 有質量の自由場 $\omega(k)=\sqrt{k^2+m^2}$ では $k\cdot\nabla\omega=k^2/\omega\ge\omega-m$ なので、$i[H_{\mathrm f},A]\ge H_{\mathrm f}-mN$ です。これから、**しきい値** $m\mathbb{N}_0$（静止したボソン $n$ 個のエネルギー）を避けた任意の区間で、定数 $\theta=\mathrm{dist}(I,m\mathbb{N}_0)$ の厳密な Mourre 評価が出ます。
- 閉じ込められた系（固有値 $e_j$）と有質量ボソンの結合系 $H=K\otimes1+1\otimes H_{\mathrm f}+\lambda Q\otimes\Phi(g)$ では、しきい値は $\mathcal{T}_0=\{e_j+nm\}$ になり、$\mathcal{T}_0$ から離れた区間では、結合定数が小さければ厳密な [Mourre 評価](/mathematics/spectral-scattering/mourre-theory#def-mourre-estimate)が成り立ちます。帰結として、その区間に固有値はなく、スペクトルは純粋に絶対連続で、[極限吸収原理](/mathematics/spectral-scattering/mourre-theory#def-limiting-absorption)が成り立ちます。
- Mourre 評価は**伝播評価**に変換されます。Heisenberg 微分 $\partial_t\Phi(t)+i[H,\Phi(t)]$ が下から正の量で押さえられれば、その量の時間積分は有限になる、という単純な補題が、局所減衰・最小速度評価の共通の骨格です。
- Dereziński–Gérard（有質量）と Fröhlich–Griesemer–Schlein（質量ゼロ、Rayleigh 散乱）の漸近完全性の証明は、(i) Mourre 評価、(ii) 伝播評価、(iii) 漸近粒子数と幾何学的逆波動作用素、という三段で組み立てられます。この章は (i) を完全に証明し、(ii) の骨格を与え、(iii) を主張として整理します。
## 1. 動機
[場の量子論の模型の散乱理論](/mathematics/spectral-scattering/qft-model-scattering)の章では、漸近場の存在を Cook の方法で示し、漸近完全性（すべての状態が「束縛状態 + 自由に飛ぶボソン」に分解されること）は Dereziński–Gérard の定理（