数学 › 関数解析と作用素論 › 形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式

形式和の基本性質

命題 3.2（「形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式」§3）・ ✓公理まで証明済み

定義 3.1 の記号で次が成り立つ。

$h$ は閉で $h\ge-(\alpha+\beta)$ 。 $A\dotplus B$ は $\mathcal{K}$ 上の自己共役作用素で $A\dotplus B\ge-(\alpha+\beta)$ 。
$D(A)\cap D(B)\subset D(A\dotplus B)$ で、 $\psi\in D(A)\cap D(B)$ について $(A\dotplus B)\psi=P(A\psi+B\psi)$ 。特に $D(A)\cap D(B)$ が稠密なら $\mathcal{K}=\mathcal{H}$ で、 $A\dotplus B$ は $(A+B)|_{D(A)\cap D(B)}$ の自己共役拡大である。
$A+B$ が $D(A)\cap D(B)$ 上で本質的自己共役なら、 $A\dotplus B$ はその閉包に等しい。
実数 $\gamma,\delta$ について $(A+\gamma)\dotplus(B+\delta)=A\dotplus B+\gamma+\delta$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 17 件、定義なども含めて 19 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

自己共役作用素の形式✓補題 2.2・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
- 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
- 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算
  - 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
- スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算
  - 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
  - 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
- 自己共役作用素の極大性✓命題 3.4・対称作用素と自己共役拡大（上で展開済み）
閉形式と下半連続性✓補題 7.1・自己共役性の判定 II
- 有界列の弱収束部分列（可分性なし）✓系 5.6・Hilbert 空間の基礎
  - 有界列の弱収束部分列✓定理 5.5・Hilbert 空間の基礎
    リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎
    平行四辺形則と分極恒等式✓命題 2.3・Hilbert 空間の基礎
    最近点の変分的特徴づけ✓補題 3.3・Hilbert 空間の基礎
    命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
- 弱極限の基本性質✓命題 5.3・Hilbert 空間の基礎
自己共役作用素の極大性✓命題 3.4・対称作用素と自己共役拡大
- 共役作用素は閉✓定理 5.4・非有界作用素
  - 共役のグラフ✓補題 5.3・非有界作用素
    共役作用素定義 5.1・非有界作用素
- 可閉性の判定✓命題 4.6・非有界作用素

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Markov 的な半群と掛け算作用素の形式和✓命題 3.5・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
Trotter–加藤の積公式✓定理 5.2・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式

形式和の基本性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件