数学 › 関数解析と作用素論 › 形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式

Markov 的な半群と掛け算作用素の形式和

命題 3.5（「形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式」§3）・ ✓公理まで証明済み

$(M,\Sigma,\mu)$ を有限測度空間、 $H_0\ge0$ を $L^2(M,\mu)$ 上の自己共役作用素とし、すべての $t\ge0$ と $\psi\in L^\infty(\mu)$ について $\|e^{-tH_0}\psi\|_\infty\le\|\psi\|_\infty$ とする。 $V$ を実数値可測関数で、 $V\ge-c$ かつ $V\in L^2(\mu)$ とし、掛け算作用素 $M_V$ を $V$ と書く。このとき

$D(H_0)\cap L^\infty(\mu)\subset D(H_0)\cap D(V)$ であり、 $D(H_0)\cap L^\infty(\mu)$ は $L^2(\mu)$ で稠密である。
$Q(H_0)\cap Q(V)$ は稠密で、 $H_0\dotplus V$ は $L^2(\mu)$ 上の自己共役作用素、 $H_0\dotplus V\ge-c$ であり、 $D(H_0)\cap D(V)$ 上で $H_0+V$ に一致する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 78 件、定義なども含めて 86 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算
- 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
- 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算
  - 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
自己共役作用素が生成する半群✓系 4.7・1 径数ユニタリ群と強連続半群
- Lumer–Phillips の定理（Hilbert 空間版）✓定理 4.6・1 径数ユニタリ群と強連続半群
  - Hille–吉田の定理✓定理 4.3・1 径数ユニタリ群と強連続半群
    Hille–吉田の定理（証明つき）✓定理 3.1・Banach 空間の強連続半群この先をたどる →
- 自己共役作用素が定めるユニタリ群✓命題 2.2・1 径数ユニタリ群と強連続半群
- Stone の定理✓定理 3.1・1 径数ユニタリ群と強連続半群
  - 自己共役性の基本判定✓命題 2.2・自己共役性の判定
  - 自己共役作用素が定めるユニタリ群✓命題 2.2・1 径数ユニタリ群と強連続半群
自己共役作用素の形式✓補題 2.2・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
- 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
- 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
- スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
- 自己共役作用素の極大性✓命題 3.4・対称作用素と自己共役拡大
  - 共役作用素は閉✓定理 5.4・非有界作用素
    共役のグラフ✓補題 5.3・非有界作用素この先をたどる →
  - 可閉性の判定✓命題 4.6・非有界作用素
形式和の基本性質✓命題 3.2・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
- 自己共役作用素の形式✓補題 2.2・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式（上で展開済み）
- 閉形式と下半連続性✓補題 7.1・自己共役性の判定 II
  - 有界列の弱収束部分列（可分性なし）✓系 5.6・Hilbert 空間の基礎
    有界列の弱収束部分列✓定理 5.5・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
    射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - 弱極限の基本性質✓命題 5.3・Hilbert 空間の基礎
- 自己共役作用素の極大性✓命題 3.4・対称作用素と自己共役拡大（上で展開済み）
掛け算作用素の関数計算✓補題 2.6・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
- スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
- スペクトル定理（射影値測度版）✓定理 5.5・スペクトル定理と関数計算
  - ケーリー変換✓補題 5.1・スペクトル定理と関数計算
  - ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →
  - スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
- 自己共役作用素の形式✓補題 2.2・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

掛け算作用素との積公式✓系 5.5・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
紫外切断付きハミルトニアンの自己共役性と積公式✓命題 3.2・P(φ)₂ 模型の構成

Markov 的な半群と掛け算作用素の形式和

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件