数学 › 関数解析と作用素論 › 形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式

掛け算作用素との積公式

系 5.5（「形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式」§5）・ ✓公理まで証明済み

命題 3.5 の仮定の下で、すべての $t>0$ と $\psi\in L^2(\mu)$ について

e^{-t(H_0\dotplus V)}\psi=\lim_{n\to\infty}\bigl(e^{-tH_0/n}\,M_{e^{-tV/n}}\bigr)^n\psi

が成り立つ。ここで $M_{e^{-tV/n}}$ は有界関数 $e^{-tV/n}\le e^{tc/n}$ を掛ける作用素である。さらに $e^{-tH_0}$ がすべての $t>0$ で正値性を保つなら、 $e^{-t(H_0\dotplus V)}$ も正値性を保つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 100 件、定義なども含めて 109 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Markov 的な半群と掛け算作用素の形式和✓命題 3.5・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
- スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算
  - 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
  - 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
- 自己共役作用素が生成する半群✓系 4.7・1 径数ユニタリ群と強連続半群
  - Lumer–Phillips の定理（Hilbert 空間版）✓定理 4.6・1 径数ユニタリ群と強連続半群
    Hille–吉田の定理✓定理 4.3・1 径数ユニタリ群と強連続半群この先をたどる →
  - 自己共役作用素が定めるユニタリ群✓命題 2.2・1 径数ユニタリ群と強連続半群
  - Stone の定理✓定理 3.1・1 径数ユニタリ群と強連続半群この先をたどる →
- 自己共役作用素の形式✓補題 2.2・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
  - 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
  - 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
  - スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
  - 自己共役作用素の極大性✓命題 3.4・対称作用素と自己共役拡大この先をたどる →
- 形式和の基本性質✓命題 3.2・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
  - 自己共役作用素の形式✓補題 2.2・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式（上で展開済み）
  - 閉形式と下半連続性✓補題 7.1・自己共役性の判定 II この先をたどる →
  - 自己共役作用素の極大性✓命題 3.4・対称作用素と自己共役拡大この先をたどる →
- 掛け算作用素の関数計算✓補題 2.6・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式（上で展開済み）
掛け算作用素の関数計算✓補題 2.6・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算
  - 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
- スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
- スペクトル定理（射影値測度版）✓定理 5.5・スペクトル定理と関数計算
  - ケーリー変換✓補題 5.1・スペクトル定理と関数計算
  - ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →
  - スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
- 自己共役作用素の形式✓補題 2.2・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式（上で展開済み）
Trotter–加藤の積公式✓定理 5.2・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
- 形式和の基本性質✓命題 3.2・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式（上で展開済み）
- 形式の収束による強レゾルベント収束の判定✓定理 4.1・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
  - レゾルベントの変分原理（射影つき）✓補題 2.4・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式この先をたどる →
  - 有界列の弱収束部分列（可分性なし）✓系 5.6・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - 弱極限の基本性質✓命題 5.3・Hilbert 空間の基礎
  - レゾルベントの強収束から関数の強収束へ✓補題 2.5・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式この先をたどる →
- 自己共役作用素の形式✓補題 2.2・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式（上で展開済み）
- 自己共役作用素が生成する半群✓系 4.7・1 径数ユニタリ群と強連続半群（上で展開済み）
- 弱有界な集合は有界✓系 5.4・Banach 空間の基本定理
  - ノルムを実現する汎関数✓系 3.4・Banach 空間の基本定理この先をたどる →
  - 双対空間定義 2.6・Banach 空間の基本定理
  - 一様有界性原理（Banach–Steinhaus）✓定理 5.1・Banach 空間の基本定理この先をたどる →
  - リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
- 弱極限の基本性質✓命題 5.3・Hilbert 空間の基礎
- 自己共役な縮小の冪と指数の比較✓補題 5.1・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式この先をたどる →
形式和の半群の正値性✓系 5.4・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
- Trotter–加藤の積公式✓定理 5.2・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

紫外切断付きハミルトニアンの自己共役性と積公式✓命題 3.2・P(φ)₂ 模型の構成

掛け算作用素との積公式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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