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閉作用素の極分解

定理 9.2（「ベクトル値解析と関数計算」§9）・ ✓公理まで証明済み

$|T|=(T^*T)^{1/2}$ （正の自己共役作用素 $T^*T$ のスペクトル定理による平方根）と置く。このとき $D(|T|)=D(T)$ で全 $x\in D(T)$ について $\||T|x\|=\|Tx\|$ であり、部分等長作用素 $U$ で

T=U|T|,\qquad\mathrm{Ker}\,U=\mathrm{Ker}\,T,\qquad\overline{\mathrm{Ran}\,U}=\overline{\mathrm{Ran}\,T}

となるものが存在する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算
- 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
- 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算
  - 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
von Neumann の定理✓定理 9.1・ベクトル値解析と関数計算
- 共役の基本性質✓命題 5.6・非有界作用素

これを使っている定理証明で参照している 1 件

反線形閉作用素の極分解✓補題 2.1・冨田–竹崎の定理の証明