可分空間の巡回分解

命題 3.2（「スペクトルの多重度」§3）・ ✓公理まで証明済み

$\mathcal{H}$ を可分とする。このとき零でないベクトルの（有限または可算の）族 $\{\psi_n\}_{n\in N}$ （ $N\subset\mathbb{N}$ ）で、 $\mathcal{H}_{\psi_n}$ が互いに直交し $\mathcal{H}=\bigoplus_{n\in N}\mathcal{H}_{\psi_n}$ となるものが存在する。さらに、ユニタリ作用素

W:\mathcal{H}\to\bigoplus_{n\in N}L^2(\mathbb{R},\mu_{\psi_n}),\qquad W\bigl(f(H)\psi_n\bigr)=(0,\ldots,0,\underset{n}{f},0,\ldots)\quad(f\in\mathcal{B}_b(\mathbb{R}))

が存在して $WHW^{-1}=M_\lambda$ となる。各 $\mu_{\psi_n}$ は全質量 $\|\psi_n\|^2$ の有限測度である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 37 件、定義なども含めて 44 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算
- 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算
- 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
- スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算
  - スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
- スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算
  - 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
  - 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
- ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算
  - Fejér–Riesz の定理✓定理 4.1・Toeplitz 作用素と Szegő の極限定理
  - Stone–Weierstrass の定理（複素数値）✓定理 4.7・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
    Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
  - Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    開集合は μ*-可測✓補題 4.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    積分との一致✓補題 4.5・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
  - 単位円上の測度は連続関数の積分で決まる✓補題 5.2・スペクトル定理と関数計算
    正則性の自動成立✓定理 5.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理（上で展開済み）
  - リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎
    射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
掛け算模型のスペクトル測度✓補題 2.2・スペクトルの多重度
- 射影値測度（スペクトル測度）定義 3.1・スペクトル定理と関数計算
- 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
- スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
- スペクトル定理（射影値測度版）✓定理 5.5・スペクトル定理と関数計算
  - ケーリー変換✓補題 5.1・スペクトル定理と関数計算
  - ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
  - スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

最大スペクトル型の存在✓命題 4.1・スペクトルの多重度
Hahn–Hellinger の定理✓定理 7.1・スペクトルの多重度

可分空間の巡回分解

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件