可分解作用素のスペクトル

定理 5.6（「Hilbert 空間のテンソル積と直積分」§5）・ ✓公理まで証明済み

定義 5.5 の $A = \int_M^\oplus A(x)\,d\mu$ は自己共役で、任意の $z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ について $(A-z)^{-1} = \int_M^\oplus(A(x)-z)^{-1}d\mu$ である。さらに $\lambda\in\mathbb{R}$ について次が成り立つ。

$\lambda\in\sigma(A)$ であることと、任意の $\varepsilon>0$ で $\mu\bigl(\{x : \sigma(A(x))\cap(\lambda-\varepsilon,\lambda+\varepsilon)\ne\emptyset\}\bigr) > 0$ であることは同値である。
$\lambda$ が $A$ の固有値であることと、 $\mu\bigl(\{x : \lambda\ \text{は}\ A(x)\ \text{の固有値}\}\bigr) > 0$ であることは同値である。

（主張に現れる集合が可測であることも定理の一部である。）

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 37 件、定義なども含めて 44 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

可分解作用素のスペクトル✓定理 3.2・周期作用素と Bloch–Floquet 分解
- 可分解作用素のノルム✓補題 3.1・周期作用素と Bloch–Floquet 分解
- 自己共役性の基本判定✓命題 2.2・自己共役性の判定
- 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算
  - 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算
    射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
  - スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算
    スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
  - スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算
    非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
    有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
  - ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算
    Fejér–Riesz の定理✓定理 4.1・Toeplitz 作用素と Szegő の極限定理
    Stone–Weierstrass の定理（複素数値）✓定理 4.7・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
    Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    単位円上の測度は連続関数の積分で決まる✓補題 5.2・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →
    リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
    有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
可分解作用素定義 5.5・Hilbert 空間のテンソル積と直積分

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Lee–Low–Pines 変換とファイバー分解✓定理 4.1・Pauli–Fierz 模型と赤外問題

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