可分解作用素のノルム

$x\mapsto T(x)$ を可測で $\mathrm{ess\,sup}_x\|T(x)\|<\infty$ とし、$T=\int^\oplus T(x)\,d\mu$ とする。このとき $\|T\|=\mathrm{ess\,sup}_x\|T(x)\|$ である。また $T^*=\int^\oplus T(x)^*d\mu$、$\int^\oplus S(x)\,d\mu\int^\oplus T(x)\,d\mu=\int^\oplus S(x)T(x)\,d\mu$ が成り立つ。