数学 › 関数解析と作用素論 › Hilbert 空間のテンソル積と直積分

可分解作用素

定義 5.5（「Hilbert 空間のテンソル積と直積分」§5）

x↦T(x)∈B(H′)x\mapsto T(x)\in B(\mathcal{H}') が可測（任意の e,e′e, e' で x↦⟨e,T(x)e′⟩x\mapsto\langle e,T(x)e'\rangle が可測）で ess supx∥T(x)∥<∞\mathrm{ess\,sup}_x\|T(x)\| < \infty のとき、(Tψ)(x)=T(x)ψ(x)(T\psi)(x) = T(x)\psi(x) で定まる有界作用素を T=∫M⊕T(x) dμT = \int_M^\oplus T(x)\,d\mu と書き、可分解作用素 という。

x↦A(x)x\mapsto A(x) が H′\mathcal{H}' 上の自己共役作用素の族で、x↦(A(x)−i)−1x\mapsto(A(x)-i)^{-1} が上の意味で可測なとき、

D(A)={ψ:ψ(x)∈D(A(x)) a.e., ∫M∥A(x)ψ(x)∥2 dμ<∞},(Aψ)(x)=A(x)ψ(x)D(A) = \Bigl\{\psi : \psi(x)\in D(A(x))\ \text{a.e.},\ \int_M\|A(x)\psi(x)\|^2\,d\mu < \infty\Bigr\},\qquad (A\psi)(x) = A(x)\psi(x)

で定まる作用素を A=∫M⊕A(x) dμA = \int_M^\oplus A(x)\,d\mu と書く。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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