数学 › スペクトル・散乱理論 › Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素有料章

Harper 方程式への帰着

定理 2.7（「Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素」§2） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 91 件、定義なども含めて 103 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Parseval の等式✓定理 5.1・フーリエ級数

  • Fejér の定理の帰結✓系 4.3・フーリエ級数

    • Fejér の定理✓定理 4.2・フーリエ級数

      • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
      • 平行移動の連続性✓補題 2.2・フーリエ級数 この先をたどる →
  • 正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎

    • 二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎

      • 命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
      • 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎 この先をたどる →
    • ベッセルの不等式✓定理 6.2・Hilbert 空間の基礎
    • 命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
• Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

  • 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

    • 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

      • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
      • Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
      • 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →
    • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    • 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理

      • Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
      • 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →
  • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列

      • アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
      • 整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
• スペクトルの Lipschitz 連続性✓補題 2.6・Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素

  • 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算

    • 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算

      • 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
    • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
• 可分解作用素のスペクトル✓定理 3.2・周期作用素と Bloch–Floquet 分解

  • 可分解作用素のノルム✓補題 3.1・周期作用素と Bloch–Floquet 分解
  • 自己共役性の基本判定✓命題 2.2・自己共役性の判定
  • 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

• 無理数周波数でのスペクトルの位相独立性✓命題 2.8・Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素
• 有理磁束での帯構造✓定理 3.2・Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素
• Aubry 双対性✓定理 4.1・Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素