強結合での体積に一様な Poincaré 不等式と相関の指数的減衰

$G=SU(N)$（$N\ge2$）、$d\ge2$、$\Lambda\subset\mathbb{Z}^d$ を任意の有限集合、$\mu=\mu_{\Lambda,\beta}$ を 定義 2.1 の測度とし、$\mathfrak{su}(N)$ の内積を $\langle X,Y\rangle=-2\mathrm{tr}(XY)$ とする。

と仮定する。このとき次が成り立つ。定数はどれも $\Lambda$ によらない。

1. （Poincaré 不等式）すべての $f\in C^\infty(G^E;\mathbb{R})$ について $$\mathrm{Var}_\mu(f)=\int f^2d\mu-\Bigl(\int f\,d\mu\Bigr)^2\le\frac1\kappa\int|\nabla f|^2\,d\mu .$$
2. （生成作用素のギャップ）$\sigma(-\bar L)\subset\{0\}\cup[\kappa,\infty)$。したがって $P_t=e^{t\bar L}$ は、すべての $f\in L^2(\mu)$ と $t\ge0$ で $\|P_tf-\int f\,d\mu\|\le e^{-\kappa t}\|f-\int f\,d\mu\|$ を満たす。
3. （相関の減衰）$\beta\ne0$ とする。2 つの辺が 1 つのプラケットに属するとき隣接するとして、辺の集合の間の距離を定める。$f,g\in C^\infty(G^E;\mathbb{R})$ がそれぞれ辺の集合 $A$、$B$ の上の変数だけの関数で、$A$ と $B$ の距離が $D\ge1$ であるとき、$\lambda=\dfrac{384(d-1)|\beta|}{N}$、$q=\dfrac{\lambda}{\lambda+\kappa}\lt1$ として $$\bigl|\mathrm{Cov}_\mu(f,g)\bigr|\le q^{D-1}\,\|f\|_{L^2(\mu)}\|g\|_{L^2(\mu)}+\frac{2D}{\lambda}\,3^{-D}\Bigl(\sum_{e\in A}\|\nabla_ef\|_{L^2(\mu)}\Bigr)\Bigl(\sum_{e\in B}\|\nabla_eg\|_{L^2(\mu)}\Bigr).$$