Wilson 作用の 2 階微分の評価

定義 2.1 の $S(U)=-\frac\beta N\sum_{p\in P}\mathrm{Re}\,\mathrm{tr}\,U_p$ について次が成り立つ。

1. 実数の組 $\xi=(\xi_i)$ について、$\xi_e=\sum_a\xi_{e,a}X_a$、$|\xi|^2=\sum_i\xi_i^2$ として $$\Bigl|\sum_{i,j}(X_iX_jS)(U)\,\xi_i\xi_j\Bigr|\le\frac{4(d-1)|\beta|}{N}\,|\xi|^2 .$$
2. 辺 $e,e'$ について、行列 $B_{ee'}(U)$ を $(B_{ee'})_{ab}=X_{e,a}X_{e',b}S$（$e\ne e'$）、$(B_{ee})_{ab}=X_{e,a}X_{e,b}S+\sum_cf_{acb}X_{e,c}S$ で定める（$V=S$ のとき、補題 5.3 の 3 は $X_{e,a}Lf=LX_{e,a}f-\sum_{e',b}(B_{ee'})_{ab}X_{e',b}f$ と書ける。$f_{acb}=f_{cba}$ に注意）。その作用素ノルムは $$\|B_{ee'}(U)\|\le b_{ee'}:=\begin{cases}\dfrac{3(d-1)|\beta|}{N}&(e=e')\\[2mm]\dfrac{|\beta|}{2N}&(e\ne e'\text{ が 1 つのプラケットに属する})\\[1mm]0&(\text{それ以外})\end{cases}$$ を満たし、$\sum_{e'}b_{ee'}\le\bar b:=\dfrac{6(d-1)|\beta|}{N}$。