物理学 › 格子ゲージ理論の繰り込み群：Bałaban と Dimock の原論文 › 準備 1有料章

ゲージ共変性と局所性（原論文 (11)–(13)）

命題 3.5（「準備 1」§3） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 138 件、定義なども含めて 160 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• ユニタリ行列の対数（原論文 (23)–(25)）✓補題 2.2・準備 1

  • 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像

    • 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定

      • 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定 この先をたどる →
      • 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
      • 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定 この先をたどる →
      • ディリクレの定理（絶対収束する級数の並べ替え）✓定理 7.10・級数と収束判定 この先をたどる →
      • 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定 この先をたどる →
  • 閉部分群定理（行列 Lie 群版）✓定理 4.2・行列 Lie 群と指数写像

    • 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
    • 指数写像は原点の近くで微分同相✓定理 6.4・リー群とリー環

      • 指数写像定義 6.1・リー群とリー環
    • Lie 環に横断的な小さい元は群に入らない✓補題 4.1・行列 Lie 群と指数写像
    • 埋め込み部分多様体定義 4.1・部分多様体と正則値定理
    • 部分多様体は多様体である✓命題 4.2・部分多様体と正則値定理
    • 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
• 級数の対数と指数の評価（原論文 (26)(27)）✓補題 2.3・準備 1

  • 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
• Federbush の群平均（RG I (0.5)–(0.10)）✓命題 3.3・準備 1

  • 級数の対数と指数の評価（原論文 (26)(27)）✓補題 2.3・準備 1（上で展開済み）
  • 積の対数の 2 次の剰余（原論文 (29)–(31)）✓補題 2.5・準備 1

    • BCH 公式（積分表示と収束域）✓定理 6.2・行列 Lie 群と指数写像

      • 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
      • 指数写像の微分公式✓補題 6.1・行列 Lie 群と指数写像 この先をたどる →
      • 随伴表現の微分は ad✓補題 5.3・行列 Lie 群と指数写像
      • 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定（上で展開済み）
    • 正則関数の評価の道具✓補題 2.4・準備 1（上で展開済み）
    • 級数の対数と指数の評価（原論文 (26)(27)）✓補題 2.3・準備 1（上で展開済み）
    • 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
  • 正則関数の評価の道具✓補題 2.4・準備 1

    • 多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論

      • ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理 この先をたどる →
      • べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題）✓定理 2.3・多変数複素関数論 この先をたどる →
    • 縮小写像の原理（バナッハの不動点定理）✓定理 3.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値（上で展開済み）
    • 最大値原理✓定理 7.7・正則関数の強力な性質 この先をたどる →
    • シュワルツの補題✓補題 5.1・等角写像とリーマン写像定理
    • べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題）✓定理 2.3・多変数複素関数論 この先をたどる →
    • コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質 この先をたどる →
    • テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質 この先をたどる →
  • 縮小写像の原理（バナッハの不動点定理）✓定理 3.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値

    • 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
  • ユニタリ行列の対数（原論文 (23)–(25)）✓補題 2.2・準備 1（上で展開済み）
  • 行列 Lie 群の Lie 環は実 Lie 環✓定理 3.2・行列 Lie 群と指数写像

    • Lie–Trotter の積公式✓命題 2.2・行列 Lie 群と指数写像 この先をたどる →
• コンパクト群の Haar 測度✓定理 4.1・格子ゲージ場

  • コンパクト群の正規化 Haar 測度✓定理 5.1・Haar 測度

    • モジュラー関数の性質✓命題 4.2・Haar 測度 この先をたどる →
    • Haar 測度の存在と一意性✓定理 3.2・Haar 測度 この先をたどる →
    • Haar 測度は開集合で正✓命題 3.6・Haar 測度
  • 左 Haar 測度定義 3.1・Haar 測度

これを使っている定理 証明で参照している 26 件

• 決定集合 𝔅₁ による再表示（原論文 (1.22)–(1.25)）✓補題 6.7・Bałaban『Large field renormalization II』精読 第 1 部
• 分子の線形項は 0（原論文 p.363–364）✓命題 6.11・Bałaban『Large field renormalization II』精読 第 1 部
• 平均化されたプラケットの評価（原論文 Proposition 1・2）✓命題 4.2・準備 1
• 共変な延長の性質✓補題 5.2・準備 1
• 核の不等式（原論文 (142)）✓補題 6.2・準備 1
• 合成平均の解析性と線形化（原論文 Proposition 4、(127)–(136)）✓命題 6.4・準備 1
• 軸ゲージの δ 関数によるゲージ固定（原論文 (9)(10)）✓命題 4.2・準備 5
• 平均の等しい 2 つの配位の、各段の平均の差✓補題 5.13・準備 5
• 最小配位の局所性（立方体の外のデータの切り捨て）✓補題 5.14・準備 5
• 平均化されたプラケットの平均による評価（原論文 (69)）✓補題 8.1・準備 5
• RG III 第 1 段の二次形式 (1.16) の正定値性（領域つき）✓系 8.10・準備 3 の 3
• RG III 第 1 段の二次形式 (1.16) の正定値性（外へ出るボンドを含む版）✓系 8.14・準備 3 の 3
• 平均と微分の交換✓補題 2.4・準備 3
• プロパゲータの変換則（CMP 99 (3.28)–(3.34)）✓命題 3.5・準備 3
• 近似解と Landau ゲージへの帰着（原論文 (11)–(21)、Proposition 2）✓命題 4.1・準備 4
• 最小配位の表示と解析性（原論文 (172)–(180)、Proposition 9 の前半）✓定理 9.2・準備 4
• 軸ゲージの表示とゲージ共変性（原論文 (181)）✓命題 9.4・準備 4
• 臨界点の存在と一意性（原論文 (2.2)(2.3)）✓命題 6.1・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部
• ゲージ不変性と Euclid 不変性の保存（原論文 (2.16)–(2.18)）✓命題 6.10・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部
• 差の表示（原論文 (3.3)）✓命題 3.2・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 2 部
• 同時のゲージ変換についての不変性（原論文 (3.29)）✓補題 5.5・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 2 部
• (P1) の証明（$\mathfrak F_E$ について）✓補題 2.3・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 3 部
• 揺らぎ場の作用の局所化（原論文 Lemma 2）✓定理 8.3・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories II』精読 第 1 部
• 入力 (C) が成り立つこと✓命題 4.7・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories II』精読 第 2 部
• 軸ゲージ固定の恒等式と Faddeev–Popov 操作（原論文 (1.5)–(1.7)）✓命題 4.6・Bałaban『Convergent renormalization expansions for lattice gauge theories』(1988)
• ゲージ共変性（原論文 (1.17) とその後）✓命題 6.8・Bałaban『Convergent renormalization expansions for lattice gauge theories』(1988)