物理学 › 格子ゲージ理論の繰り込み群：Bałaban と Dimock の原論文 › 準備 1有料章

正則関数の評価の道具

補題 2.4（「準備 1」§2） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 76 件、定義なども含めて 90 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論

  • ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理

    • グルサの定理（三角形版）✓定理 4.5・コーシーの積分定理と積分公式

      • 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式 この先をたどる →
      • 複素線積分に対する微積分の基本定理✓定理 3.2・コーシーの積分定理と積分公式 この先をたどる →
      • ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
    • ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
    • モレラの定理✓定理 3.6・正則関数の強力な性質

      • 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質 この先をたどる →
    • コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
  • べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題）✓定理 2.3・多変数複素関数論（上で展開済み）
• 縮小写像の原理（バナッハの不動点定理）✓定理 3.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値

  • 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列

    • コーシー列の基本性質✓命題 7.2・実数の完備性とコーシー列

      • 数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
      • コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
    • ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 6.3・実数の完備性とコーシー列

      • 単調部分列の補題✓補題 6.2・実数の完備性とコーシー列
      • 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
    • コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
    • 部分列定義 6.1・実数の完備性とコーシー列
• 最大値原理✓定理 7.7・正則関数の強力な性質

  • ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
  • 絶対値が定数の正則関数は定数✓命題 7.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式

    • コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式

      • 複素微分可能性定義 3.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
      • 実部と虚部への分解✓命題 2.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
      • 1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    • 導関数が消えれば定数✓命題 5.8・正則関数とコーシー・リーマンの関係式

      • コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式（上で展開済み）
      • 複素微分可能なら連続✓命題 3.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式 この先をたどる →
      • ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
  • 正則関数は小さな部分で決まる✓系 7.4・正則関数の強力な性質

    • 一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質

      • 零点の孤立性✓補題 7.2・正則関数の強力な性質 この先をたどる →
      • 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質 この先をたどる →
      • テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
• シュワルツの補題✓補題 5.1・等角写像とリーマン写像定理
• べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題）✓定理 2.3・多変数複素関数論

  • 多重円板の Cauchy 積分公式✓定理 2.2・多変数複素関数論

    • コーシーの積分公式✓定理 6.1・コーシーの積分定理と積分公式 この先をたどる →
  • テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
• コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質

  • コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質

    • コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質
• テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質

  • 一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
  • コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
  • コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 22 件

• 積の対数の 2 次の剰余（原論文 (29)–(31)）✓補題 2.5・準備 1
• 積の対数の 1 次の項（原論文 (38)(41)）✓補題 2.6・準備 1
• Federbush の群平均（RG I (0.5)–(0.10)）✓命題 3.3・準備 1
• 1 回の付け替え平均の解析性と線形化（原論文 Proposition 3、(110)–(126)(148)）✓命題 6.3・準備 1
• 合成平均の解析性と線形化（原論文 Proposition 4、(127)–(136)）✓命題 6.4・準備 1
• δ 関数の線形化✓命題 6.7・準備 1
• 平均の差の評価とゲージ変換の表示（原論文 Proposition 6、(64)–(108)(130)(159)–(164)）✓命題 7.1・準備 1
• 1 回の平均（原論文 Proposition 9、(180)–(200)(209)–(211)）✓命題 8.4・準備 1
• δ 関数の局所的な線形化（原論文 (14)–(17)）✓命題 4.12・準備 5
• RG I・II・III の二次形式の正定値性✓系 8.6・準備 3 の 3
• RG III 第 1 段の二次形式 (1.16) の正定値性（領域つき）✓系 8.10・準備 3 の 3
• 平均の解析性✓補題 6.2・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部
• 揺らぎ場についての展開（原論文 (2.4)–(2.8)）✓命題 6.3・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部
• 作用素 $h$（原論文 (2.10) の後）✓補題 6.4・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部
• 線形化変換 $B'=B-h\tilde D(B)$（原論文 (2.10) の後）✓補題 6.6・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部
• 最小配位の写像と平均の性質✓命題 4.4・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 2 部
• 変形した関数の解析性（原論文 (3.13)(3.14)）✓命題 4.11・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 2 部
• $A$ の正則性と $B$ の分解（原論文 (3.32)(3.48)(3.49)）✓補題 5.7・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 2 部
• 群平均の Lipschitz 性✓補題 5.1・Bałaban『Convergent renormalization expansions for lattice gauge theories』(1988)
• またぎボンド b₀(c) は平均と残りのボンドで抑えられる✓補題 5.5・Bałaban『Convergent renormalization expansions for lattice gauge theories』(1988)
• 大場領域の近くの変数変換（原論文 (1.22)(1.23)）✓命題 8.2・Bałaban『Convergent renormalization expansions for lattice gauge theories』(1988)
• (P)：第 1 段の二次形式の一様な正定値性✓補題 9.1・Bałaban『Convergent renormalization expansions for lattice gauge theories』(1988)