物理学 › 格子ゲージ理論の繰り込み群：Bałaban と Dimock の原論文 › 準備 1有料章

平均化されたプラケットの評価（原論文 Proposition 1・2）

命題 4.2（「準備 1」§4） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 141 件、定義なども含めて 163 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 箱の中の軸ゲージ✓補題 2.8・準備 1

  • ユニタリ行列の対数（原論文 (23)–(25)）✓補題 2.2・準備 1（上で展開済み）
• ゲージ共変性と局所性（原論文 (11)–(13)）✓命題 3.5・準備 1

  • ユニタリ行列の対数（原論文 (23)–(25)）✓補題 2.2・準備 1（上で展開済み）
  • 級数の対数と指数の評価（原論文 (26)(27)）✓補題 2.3・準備 1（上で展開済み）
  • Federbush の群平均（RG I (0.5)–(0.10)）✓命題 3.3・準備 1（上で展開済み）
  • コンパクト群の Haar 測度✓定理 4.1・格子ゲージ場

    • コンパクト群の正規化 Haar 測度✓定理 5.1・Haar 測度 この先をたどる →
    • 左 Haar 測度定義 3.1・Haar 測度
• ユニタリ行列の対数（原論文 (23)–(25)）✓補題 2.2・準備 1

  • 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像

    • 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定 この先をたどる →
  • 閉部分群定理（行列 Lie 群版）✓定理 4.2・行列 Lie 群と指数写像

    • 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
    • 指数写像は原点の近くで微分同相✓定理 6.4・リー群とリー環

      • 指数写像定義 6.1・リー群とリー環
    • Lie 環に横断的な小さい元は群に入らない✓補題 4.1・行列 Lie 群と指数写像
    • 埋め込み部分多様体定義 4.1・部分多様体と正則値定理
    • 部分多様体は多様体である✓命題 4.2・部分多様体と正則値定理
    • 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
• 級数の対数と指数の評価（原論文 (26)(27)）✓補題 2.3・準備 1

  • 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
• 積の対数の 2 次の剰余（原論文 (29)–(31)）✓補題 2.5・準備 1

  • BCH 公式（積分表示と収束域）✓定理 6.2・行列 Lie 群と指数写像

    • 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
    • 指数写像の微分公式✓補題 6.1・行列 Lie 群と指数写像

      • 随伴表現の微分は ad✓補題 5.3・行列 Lie 群と指数写像
    • 随伴表現の微分は ad✓補題 5.3・行列 Lie 群と指数写像
    • 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定 この先をたどる →
  • 正則関数の評価の道具✓補題 2.4・準備 1

    • 多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論 この先をたどる →
    • 縮小写像の原理（バナッハの不動点定理）✓定理 3.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値（上で展開済み）
    • 最大値原理✓定理 7.7・正則関数の強力な性質 この先をたどる →
    • シュワルツの補題✓補題 5.1・等角写像とリーマン写像定理
    • べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題）✓定理 2.3・多変数複素関数論 この先をたどる →
    • コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質 この先をたどる →
    • テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質 この先をたどる →
  • 級数の対数と指数の評価（原論文 (26)(27)）✓補題 2.3・準備 1（上で展開済み）
  • 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
• 輪郭変数の Stokes 型の評価（原論文 (48)）✓補題 4.1・準備 1

  • 箱の中の軸ゲージ✓補題 2.8・準備 1（上で展開済み）
• Federbush の群平均（RG I (0.5)–(0.10)）✓命題 3.3・準備 1

  • 級数の対数と指数の評価（原論文 (26)(27)）✓補題 2.3・準備 1（上で展開済み）
  • 積の対数の 2 次の剰余（原論文 (29)–(31)）✓補題 2.5・準備 1（上で展開済み）
  • 正則関数の評価の道具✓補題 2.4・準備 1（上で展開済み）
  • 縮小写像の原理（バナッハの不動点定理）✓定理 3.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値

    • 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
  • ユニタリ行列の対数（原論文 (23)–(25)）✓補題 2.2・準備 1（上で展開済み）
  • 行列 Lie 群の Lie 環は実 Lie 環✓定理 3.2・行列 Lie 群と指数写像

    • Lie–Trotter の積公式✓命題 2.2・行列 Lie 群と指数写像 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 22 件

• $χ_k, χ″_k, χ_{k,Λ}$ の下での Λ の外の正則性✓補題 5.4・Bałaban『Large field renormalization I』(1989) 第 2 部
• U₀ の AL ゲージ表示 (1.83)–(1.87)✓命題 9.1・Bałaban『Large field renormalization I』(1989) 第 2 部
• 合成平均の解析性と線形化（原論文 Proposition 4、(127)–(136)）✓命題 6.4・準備 1
• 1 回の平均（原論文 Proposition 9、(180)–(200)(209)–(211)）✓命題 8.4・準備 1
• 正則なゲージ変換との積（原論文 Proposition 10、(201)–(214)）✓命題 8.5・準備 1
• 背景場の存在と正則性（原論文 pp.258–259、p.267、(68)）✓定理 4.4・準備 5
• 最小配位のまわりの作用の展開と局所座標（原論文 (19)(27)(28)(53)(54)）✓命題 4.14・準備 5
• 大場の領域のもとでの揺らぎ積分の表示（原論文 (13)–(22)、(49)–(55)）✓命題 4.19・準備 5
• 下界のための揺らぎ積分の表示（原論文 (37)(47) の 1 段分）✓命題 4.20・準備 5
• 最小配位の局所性（立方体の外のデータの切り捨て）✓補題 5.14・準備 5
• 無関連な項の和の評価（原論文 (44)–(46)）✓補題 5.17・準備 5
• 帰納的評価（原論文 Theorem 2）✓定理 7.4・準備 5
• 平均化されたプラケットの平均による評価（原論文 (69)）✓補題 8.1・準備 5
• 局所座標の局所版（原論文 (144)–(160) の局所的な形）✓命題 8.5・準備 4
• 平均から作った最小配位の評価（RG I (1.17)）✓命題 9.10・準備 4
• 正則配位の平均の正則性（原論文 (1.2) の後）✓命題 5.2・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部
• 局所化した最小配位の正則性（原論文 (1.17)）✓補題 5.6・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部
• 最小配位の近くでの解析性✓補題 4.12・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 2 部
• 一般化された軸ゲージと Landau ゲージ（原論文 (3.26)(3.27)）✓命題 5.4・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 2 部
• (P1) の証明（$\mathfrak F_E$ について）✓補題 2.3・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 3 部
• 小場の領域での新しい場の正則性（Proposition 1 [12] の適用）✓補題 4.4・Bałaban『Convergent renormalization expansions for lattice gauge theories』(1988)
• 新しい背景場の正則性と揺らぎ場の小ささ（(3.12)–(3.14)）✓補題 3.6・Bałaban『Convergent renormalization expansions for lattice gauge theories』(1988)