物理学 › 格子ゲージ理論の繰り込み群：Bałaban と Dimock の原論文 › 準備 3有料章

プロパゲータの変換則（CMP 99 (3.28)–(3.34)）

命題 3.5（「準備 3」§3） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 141 件、定義なども含めて 163 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Wilson 作用の基本性質✓命題 3.5・格子ゲージ場

  • 平行移動の共変性✓命題 3.3・格子ゲージ場
• 平行移動の共変性✓命題 3.3・格子ゲージ場
• ゲージ共変性と局所性（原論文 (11)–(13)）✓命題 3.5・準備 1

  • ユニタリ行列の対数（原論文 (23)–(25)）✓補題 2.2・準備 1

    • 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像

      • 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定 この先をたどる →
    • 閉部分群定理（行列 Lie 群版）✓定理 4.2・行列 Lie 群と指数写像

      • 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
      • 指数写像は原点の近くで微分同相✓定理 6.4・リー群とリー環 この先をたどる →
      • Lie 環に横断的な小さい元は群に入らない✓補題 4.1・行列 Lie 群と指数写像
      • 埋め込み部分多様体定義 4.1・部分多様体と正則値定理
      • 部分多様体は多様体である✓命題 4.2・部分多様体と正則値定理
      • 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
  • 級数の対数と指数の評価（原論文 (26)(27)）✓補題 2.3・準備 1

    • 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
  • Federbush の群平均（RG I (0.5)–(0.10)）✓命題 3.3・準備 1

    • 級数の対数と指数の評価（原論文 (26)(27)）✓補題 2.3・準備 1（上で展開済み）
    • 積の対数の 2 次の剰余（原論文 (29)–(31)）✓補題 2.5・準備 1

      • BCH 公式（積分表示と収束域）✓定理 6.2・行列 Lie 群と指数写像 この先をたどる →
      • 正則関数の評価の道具✓補題 2.4・準備 1（上で展開済み）
      • 級数の対数と指数の評価（原論文 (26)(27)）✓補題 2.3・準備 1（上で展開済み）
      • 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
    • 正則関数の評価の道具✓補題 2.4・準備 1

      • 多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論 この先をたどる →
      • 縮小写像の原理（バナッハの不動点定理）✓定理 3.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値（上で展開済み）
      • 最大値原理✓定理 7.7・正則関数の強力な性質 この先をたどる →
      • シュワルツの補題✓補題 5.1・等角写像とリーマン写像定理
      • べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題）✓定理 2.3・多変数複素関数論 この先をたどる →
      • コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質 この先をたどる →
      • テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質 この先をたどる →
    • 縮小写像の原理（バナッハの不動点定理）✓定理 3.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値

      • 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
    • ユニタリ行列の対数（原論文 (23)–(25)）✓補題 2.2・準備 1（上で展開済み）
    • 行列 Lie 群の Lie 環は実 Lie 環✓定理 3.2・行列 Lie 群と指数写像

      • Lie–Trotter の積公式✓命題 2.2・行列 Lie 群と指数写像 この先をたどる →
  • コンパクト群の Haar 測度✓定理 4.1・格子ゲージ場

    • コンパクト群の正規化 Haar 測度✓定理 5.1・Haar 測度

      • モジュラー関数の性質✓命題 4.2・Haar 測度 この先をたどる →
      • Haar 測度の存在と一意性✓定理 3.2・Haar 測度 この先をたどる →
      • Haar 測度は開集合で正✓命題 3.6・Haar 測度
    • 左 Haar 測度定義 3.1・Haar 測度

これを使っている定理 証明で参照している 10 件

• 二次形式の主要項（原論文 (1.7)）✓補題 4.6・Bałaban『Large field renormalization II』精読 第 1 部
• 局所的なゲージでの共変な作用素✓補題 2.3・準備 3 の 3
• Δ♭ の性質✓補題 6.9・準備 3 の 3
• G♭ の局所化された展開と評価✓補題 6.10・準備 3 の 3
• 接合の因子の評価✓補題 6.14・準備 3 の 3
• 背景場中のプロパゲータのノルム評価（CMP 99 Theorems 3.1–3.4、3.7–3.13、CMP 96 Prop. 2.2–2.7・Cor. 2.8）✓定理 6.3・準備 3
• ゲージ不変性と Euclid 不変性の保存（原論文 (2.16)–(2.18)）✓命題 6.10・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部
• 同時のゲージ変換についての不変性（原論文 (3.29)）✓補題 5.5・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 2 部
• プロパゲータの局所化された展開（原論文 (1.6)(1.7)、[13] (3.107)(3.108)）✓定理 3.6・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories II』精読 第 1 部
• $E_0^{(k+1)}$ の定義と対称性（(3.37)–(3.39)）✓命題 5.8・Bałaban『Convergent renormalization expansions for lattice gauge theories』(1988)