情報科学 › 偏微分方程式の離散化 › 楕円型・放物型方程式の差分法

θ 法の ℓ² 安定性

定理 4.2（「楕円型・放物型方程式の差分法」§4） ・ ✓公理まで証明済み

0≤θ≤10 \le \theta \le 1 とし、gθ(σ)=1−(1−θ)σ1+θσg_\theta(\sigma) = \dfrac{1 - (1-\theta)\sigma}{1 + \theta\sigma}、σk=Δtλk=4μsin⁡2kπh2\sigma_k = \Delta t\lambda_k = 4\mu\sin^2\dfrac{k\pi h}{2} とおく。

  1. CθC_\theta の固有値は gθ(σk)g_\theta(\sigma_k)（1≤k≤m1 \le k \le m）で、∥⋅∥h\|\cdot\|_h から誘導されるノルムについて ∥Cθn∥=max⁡k∣gθ(σk)∣n\|C_\theta^n\| = \max_k|g_\theta(\sigma_k)|^n。
  2. 12≤θ≤1\frac12 \le \theta \le 1 ならば、すべての μ>0\mu > 0 と hh で ∥Cθ∥≤1\|C_\theta\| \le 1（無条件安定）。
  3. 0≤θ<120 \le \theta < \frac12 とする。μ≤12(1−2θ)\mu \le \dfrac{1}{2(1-2\theta)} ならばすべての hh で ∥Cθ∥≤1\|C_\theta\| \le 1。μ>12(1−2θ)\mu > \dfrac{1}{2(1-2\theta)} ならば、μ\mu を固定して h→0h \to 0 としたとき sup⁡{∥Cθn∥:nΔt≤T}→∞\sup\{\|C_\theta^n\| : n\Delta t \le T\} \to \infty で、安定でない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 44 件、定義なども含めて 50 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

関連するノック 3 問