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Crank–Nicolson と陰的 Euler の高波数での増幅因子

命題 5.1（「楕円型・放物型方程式の差分法」§5） ・ ✓公理まで証明済み

  1. Crank–Nicolson の増幅因子は g1/2(σ)=−1+42+σg_{1/2}(\sigma) = -1 + \dfrac{4}{2 + \sigma} で、σ→∞\sigma \to \infty で −1-1 に近づく。σ≥2\sigma \ge 2 のとき ∣g1/2(σ)∣n≥1−4n2+σ|g_{1/2}(\sigma)|^n \ge 1 - \dfrac{4n}{2 + \sigma}。特に h≤12h \le \frac12 のとき、最も細かい波 k=mk = m について ∣g1/2(σm)∣n≥1−2n1+μ|g_{1/2}(\sigma_m)|^n \ge 1 - \dfrac{2n}{1 + \mu}。
  2. 陰的 Euler の増幅因子は g1(σ)=11+σ∈(0,1)g_1(\sigma) = \dfrac{1}{1 + \sigma} \in (0, 1) で、σ→∞\sigma \to \infty で 00 に近づく。
  3. 最初の n0n_0 ステップを陰的 Euler、その後を Crank–Nicolson とする方法では、固有成分 φk\varphi_k は nn ステップ後に (1+σk)−n0g1/2(σk)n−n0(1 + \sigma_k)^{-n_0}g_{1/2}(\sigma_k)^{n - n_0} 倍になる。定理 4.5 の仮定のもとで、誤差は
∥wn−un∥h≤n0Δt(Δt2M2+Δt26M3+h212M2)+tn(Δt26M3+h212M2)\|w^n - u^n\|_h \le n_0\Delta t\Bigl(\frac{\Delta t}{2}M_2 + \frac{\Delta t^2}{6}M_3 + \frac{h^2}{12}M_2\Bigr) + t_n\Bigl(\frac{\Delta t^2}{6}M_3 + \frac{h^2}{12}M_2\Bigr)

を満たし、n0n_0 を固定すれば O(Δt2+h2)O(\Delta t^2 + h^2) のままである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 48 件、定義なども含めて 54 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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