数学 › 数値線形代数 › Gauss 消去と LU 分解

LU 分解の存在と一意性

定理 2.2（「Gauss 消去と LU 分解」§2）・ ✓公理まで証明済み

$A\in M_n(\mathbb{K})$ について、次は同値である。

先頭主小行列式がすべて $0$ でない: $\det A_k\ne0$ （ $k=1,\ldots,n$ ）。
単位下三角行列 $L$ と、対角成分がすべて $0$ でない上三角行列 $U$ で $A=LU$ と書ける。

さらにこのとき、2 の $L$ , $U$ は一意で、 $u_{11}\cdots u_{kk}=\det A_k$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
- 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
ブロック三角行列の行列式✓補題 4.1・行列の固有値評価と不等式
- 行列式（ライプニッツの公式）定義 3.1・行列式とその性質
- 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質

これを使っている定理証明で参照している 3 件

LDLᵀ 分解と慣性✓命題 4.1・Cholesky 分解と帯行列・疎行列の直接法
帯行列の分解は帯幅を保つ✓定理 5.1・Cholesky 分解と帯行列・疎行列の直接法
シフトなし QR 法の収束✓定理 3.2・固有値の計算 II

関連するノック 2 問