シフトなし QR 法の収束

定理 3.2（「固有値の計算 II」§3）・ ✓公理まで証明済み

$A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ が $A = X\Lambda X^{-1}$ 、 $\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ 、

|\lambda_1| > |\lambda_2| > \cdots > |\lambda_n| > 0

と対角化でき、 $X^{-1}$ が LU 分解 $X^{-1} = LU$ （ $L$ は単位下三角、 $U$ は対角成分が $0$ でない上三角）をもつとする。 $r = \max_{1\le j<n}|\lambda_{j+1}/\lambda_j|$ とおく。このとき定数 $C$ があって、シフトなし QR 法の $A_k$ はすべての $k$ で

|(A_k)_{ij}| \le Cr^k\quad(i > j),\qquad |(A_k)_{ii} - \lambda_i| \le Cr^k

を満たす。とくに $A_k$ の対角より下は $0$ に、対角成分は固有値に、大きさの順に収束する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 14 件、定義なども含めて 15 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

LU 分解の存在と一意性✓定理 2.2・Gauss 消去と LU 分解
- 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
- ブロック三角行列の行列式✓補題 4.1・行列の固有値評価と不等式
  - 行列式（ライプニッツの公式）定義 3.1・行列式とその性質
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
QR 分解の存在と一意性✓定理 4.1・QR 分解
- Householder 鏡映の性質✓命題 3.2・QR 分解
- グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
単位行列に近い行列の QR 分解✓補題 3.1・固有値の計算 II
- コーシー・シュワルツの不等式✓定理 4.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
QR 法と同時反復の同値性✓定理 2.3・固有値の計算 II
- QR 反復は直交相似変換である✓命題 2.2・固有値の計算 II（上で展開済み）
- QR 分解の存在と一意性✓定理 4.1・QR 分解（上で展開済み）
QR 反復は直交相似変換である✓命題 2.2・固有値の計算 II
- 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質（上で展開済み）
- QR 分解の存在と一意性✓定理 4.1・QR 分解（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

シフトなし QR 法の収束

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）