数学 › 数値線形代数 › 固有値の計算 II

QR 法と同時反復の同値性

定理 2.3（「固有値の計算 II」§2）・ ✓公理まで証明済み

定義 2.1 の記号で、すべての $k$ について次が成り立つ。

$A^k = \mathbf{Q}_k\mathbf{R}_k$ であり、これは $A^k$ の（ $R$ の対角を正にした）QR 分解である。
$Z_0 = I$ から始めた同時反復（定義 6.1［固有値の計算 I］）の $Z_k$ は $\mathbf{Q}_k$ に等しい。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 9 件、定義なども含めて 9 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

QR 反復は直交相似変換である✓命題 2.2・固有値の計算 II
- 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
- QR 分解の存在と一意性✓定理 4.1・QR 分解（上で展開済み）
QR 分解の存在と一意性✓定理 4.1・QR 分解
- Householder 鏡映の性質✓命題 3.2・QR 分解
- グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化

これを使っている定理証明で参照している 1 件

シフトなし QR 法の収束✓定理 3.2・固有値の計算 II