波動方程式の leapfrog 法の収束

$u \in C^4([0,1]\times[0,T])$ が $u_{tt} = c^2u_{xx}$、$u(0,t) = u(1,t) = 0$、$u(x,0) = g(x)$、$u_t(x,0) = g_1(x)$ を満たすとする。$h = 1/M$、$\nu = c\Delta t/h \le \nu_0 \lt 1$ とし、$U^0_j = g(x_j)$、

を出発値とする leapfrog・中心差分の解を $U^n$ とする。$B_t = \max|\partial_t^4u|$、$B_x = \max|\partial_x^4u|$、$B_3 = \max|\partial_t^3u|$ とおくと、$t_n \le T$ である $n$ について

が成り立つ（左辺の $u(\cdot,t_n)$ は内部の格子点での値のベクトル）。右辺は $O(\Delta t^2 + h^2)$ である。

また、格子 $h\mathbb{Z}$ の上で $c\Delta t = h$（$\nu = 1$）のとき、$u \in C^2(\mathbb{R}\times[0,\infty))$ が $u_{tt} = c^2u_{xx}$ を満たし、$U^0_j = u(x_j, 0)$、$U^1_j = u(x_j, \Delta t)$ ならば、すべての $n \ge 0$ と $j$ で $U^n_j = u(x_j, t_n)$ である。