leapfrog 法の離散エネルギー

定理 4.1（「波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展」§4）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を実対称な正定値行列、 $\theta = \Delta t^2\lambda_d/4$ とする。実ベクトルの列 $u^n$ が、与えられた $r^n$ について

u^{n+1} - 2u^n + u^{n-1} = -\Delta t^2Au^n + \Delta t^2r^n\qquad(n \ge 1)

を満たすとし、 $\delta^n = (u^{n+1} - u^n)/\Delta t$ 、 $\bar u^n = (u^{n+1} + u^n)/2$ 、

E^n = \frac12\|\delta^n\|^2 + \frac12\langle u^{n+1}, Au^n\rangle

とおく。

$E^n - E^{n-1} = \frac{\Delta t}{2}\langle r^n, \delta^n + \delta^{n-1}\rangle$ 。とくに $r^n = 0$ なら $E^n = E^0$ （すべての $n$ ）である。
$E^n = \frac12\|\delta^n\|^2 - \frac{\Delta t^2}{8}\langle A\delta^n, \delta^n\rangle + \frac12\langle A\bar u^n, \bar u^n\rangle$ で、 $\frac{1-\theta}{2}\|\delta^n\|^2 + \frac12\langle A\bar u^n, \bar u^n\rangle \le E^n \le \frac12\|\delta^n\|^2 + \frac12\langle A\bar u^n, \bar u^n\rangle.$
$\theta \lt 1$ のとき $\sqrt{E^n} \le \sqrt{E^0} + \dfrac{\Delta t}{\sqrt{2(1-\theta)}}\displaystyle\sum_{m=1}^{n}\|r^m\|$ 。 $r^n = 0$ なら、すべての $n$ で $\|\delta^n\|^2 \le \frac{2E^0}{1-\theta},\qquad \|u^n\| \le \sqrt{\frac{2E^0}{\lambda_1}} + \frac{\Delta t}{2}\sqrt{\frac{2E^0}{1-\theta}}.$

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。