修正方程式：数値粘性と分散

命題 8.2（「差分法の整合性・安定性・収束」§8）・ ✓公理まで証明済み

$a > 0$ 、 $\nu = a\Delta t/h$ とする。

$\kappa = \frac{ah}{2}(1 - \nu)$ とし、 $w$ は $w_t + aw_x = \kappa w_{xx}$ を満たす滑らかな関数で、以下に現れる導関数が有界であるとする。風上差分に $w$ を代入した残差 $\tau_w = \frac{w(x,t+\Delta t) - w}{\Delta t} + aD_-w$ は

|\tau_w| \le \Bigl(a\kappa\Delta t + \frac{ah^2}{6}\Bigr)\sup|w_{xxx}| + \frac{\kappa^2\Delta t}{2}\sup|w_{xxxx}| + \frac{\Delta t^2}{6}\sup|w_{ttt}|

を満たす。 $\Delta t/h$ を固定すれば右辺は $O(h^2)$ である。 2. $u_0 \in C^5$ は 5 階までの導関数が有界とし、 $u = u_0(x - at)$ とする。Lax–Wendroff の局所打ち切り誤差は

\tau = \frac{ah^2}{6}(1 - \nu^2)u_{xxx} + \rho,\qquad|\rho| \le \frac{a^4\Delta t^3}{24}U_4 + \frac{a^2\Delta t\,h^2}{24}U_4 + \frac{ah^4}{120}U_5

を満たす。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 91 件、定義なども含めて 106 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

4 つのスキームの安定性と精度✓定理 7.1・差分法の整合性・安定性・収束
- von Neumann の安定性条件✓定理 5.5・差分法の整合性・安定性・収束
  - 掛け算作用素のノルム✓補題 5.3・差分法の整合性・安定性・収束
    半離散 Fourier 変換✓補題 5.1・差分法の整合性・安定性・収束この先をたどる →
  - 冪の有界性から 1 ステップの評価へ✓補題 5.4・差分法の整合性・安定性・収束
- テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理
  - コーシーの平均値の定理✓定理 3.7・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- 移流方程式の解✓補題 6.1・差分法の整合性・安定性・収束
- 差分商の打ち切り誤差✓補題 2.3・差分法の整合性・安定性・収束（上で展開済み）
差分商の打ち切り誤差✓補題 2.3・差分法の整合性・安定性・収束
- テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。