移流方程式の解

$u_0 \in C^1(\mathbb{R})$ とする。$u(x,t) = u_0(x - at)$ は、$u_t + au_x = 0$（$x \in \mathbb{R}$、$t \ge 0$）、$u(x, 0) = u_0(x)$ を満たすただ 1 つの $C^1$ 級の関数である。$u_0 \in C^m$ なら $\partial_t^i\partial_x^ju = (-a)^iu_0^{(i+j)}(x - at)$（$i + j \le m$）である。