4 つのスキームの安定性と精度

$a \ne 0$、格子比 $\lambda = \Delta t/h$ を固定し、$\nu = a\lambda$ とする。$u_0 \in C^4(\mathbb{R})$ は 4 階までの導関数が有界とし、$U_m = \sup|u_0^{(m)}|$、$u(x,t) = u_0(x - at)$ とする。$s = \sin(\theta/2)$ と書く。

1. 風上差分（$a > 0$）。$|g(\theta)|^2 = 1 - 4\nu(1-\nu)s^2$ で、$\ell^2$ で安定であることと $0 < \nu \le 1$ は同値。このとき $\|u^{n+1}\|_\infty \le \|u^n\|_\infty$ でもある。$|\tau| \le \frac{ah}{2}(1 + \nu)U_2$（1 次精度）。
2. Lax–Friedrichs。$|g(\theta)|^2 = 1 - (1 - \nu^2)\sin^2\theta$ で、$\ell^2$ で安定であることと $|\nu| \le 1$ は同値。このとき $\|u^{n+1}\|_\infty \le \|u^n\|_\infty$ でもある。$|\tau| \le \frac{h}{2}\bigl(a^2\lambda + \frac{1}{\lambda}\bigr)U_2 + \frac{|a|h^2}{6}U_3$（1 次精度）。
3. Lax–Wendroff。$|g(\theta)|^2 = 1 - 4\nu^2(1 - \nu^2)s^4$ で、$\ell^2$ で安定であることと $|\nu| \le 1$ は同値。$|\tau| \le \frac{|a|h^2}{6}(1 + \nu^2)U_3 + \frac{a^2\Delta t\,h^2}{24}U_4$（2 次精度）。
4. FTCS。$|g(\theta)|^2 = 1 + \nu^2\sin^2\theta$ で、すべての $\lambda > 0$ について $\ell^2$ で不安定。$|\tau| \le \frac{a^2\Delta t}{2}U_2 + \frac{|a|h^2}{6}U_3$ なので整合的ではある。