周期境界での収束の次数

系 7.2（「差分法の整合性・安定性・収束」§7）・ ✓公理まで証明済み

$u_0$ は周期 $1$ の $C^4$ 級関数、 $h = 1/N$ 、 $\lambda$ は固定で、定理 7.1 の安定条件（風上差分は $0 < \nu \le 1$ 、Lax–Friedrichs と Lax–Wendroff は $|\nu| \le 1$ ）が成り立つとする。周期格子の上で $u^0_j = u_0(x_j)$ から計算した $u^n$ は

\Bigl(h\sum_{j=0}^{N-1}|u(x_j, t_n) - u^n_j|^2\Bigr)^{1/2} \le t_n\max_{x,t}|\tau(x,t)|

を満たす。右辺は風上差分と Lax–Friedrichs で $O(h)$ 、Lax–Wendroff で $O(h^2)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 92 件、定義なども含めて 107 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

掛け算作用素のノルム✓補題 5.3・差分法の整合性・安定性・収束
- 半離散 Fourier 変換✓補題 5.1・差分法の整合性・安定性・収束
  - Parseval の等式✓定理 5.1・フーリエ級数
    Fejér の定理の帰結✓系 4.3・フーリエ級数この先をたどる →
    正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - Fourier 係数・部分和・畳み込み定義 2.1・フーリエ級数
誤差の漸化式✓補題 4.1・差分法の整合性・安定性・収束
4 つのスキームの安定性と精度✓定理 7.1・差分法の整合性・安定性・収束
- von Neumann の安定性条件✓定理 5.5・差分法の整合性・安定性・収束
  - 掛け算作用素のノルム✓補題 5.3・差分法の整合性・安定性・収束（上で展開済み）
  - 冪の有界性から 1 ステップの評価へ✓補題 5.4・差分法の整合性・安定性・収束
- テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理
  - コーシーの平均値の定理✓定理 3.7・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- 移流方程式の解✓補題 6.1・差分法の整合性・安定性・収束
- 差分商の打ち切り誤差✓補題 2.3・差分法の整合性・安定性・収束
  - テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

周期境界での収束の次数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）