情報科学 › 偏微分方程式の離散化 › 差分法の整合性・安定性・収束

半離散 Fourier 変換

補題 5.1（「差分法の整合性・安定性・収束」§5） ・ ✓公理まで証明済み

v∈ℓ2(hZ)v \in \ell^2(h\mathbb{Z}) に対し

v^(ξ)=h∑j∈Zvje−ixjξ(−πh≤ξ≤πh)\hat v(\xi) = h\sum_{j\in\mathbb{Z}}v_je^{-ix_j\xi}\qquad\Bigl(-\frac{\pi}{h} \le \xi \le \frac{\pi}{h}\Bigr)

とおく（和は L2(−π/h,π/h)L^2(-\pi/h, \pi/h) で収束する）。このとき次が成り立つ。

  1. ∫−π/hπ/h∣v^(ξ)∣2dξ=2π∥v∥h2\displaystyle\int_{-\pi/h}^{\pi/h}|\hat v(\xi)|^2d\xi = 2\pi\|v\|_h^2 で、v↦(2π)−1/2v^v \mapsto (2\pi)^{-1/2}\hat v は ℓ2(hZ)\ell^2(h\mathbb{Z}) から L2(−π/h,π/h)L^2(-\pi/h, \pi/h) の上へのユニタリ写像である。
  2. 平行移動 (Sv)j=vj+1(Sv)_j = v_{j+1} について Sv^(ξ)=eihξv^(ξ)\widehat{Sv}(\xi) = e^{ih\xi}\hat v(\xi)。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 72 件、定義なども含めて 83 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件