Fourier 係数・部分和・畳み込み

$f\in L^1(\mathbb{T})$ に対し、$\hat f(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(\theta)e^{-in\theta}\,d\theta$（$n\in\mathbb{Z}$）を Fourier 係数、$S_Nf(\theta)=\sum_{|n|\le N}\hat f(n)e^{in\theta}$ を部分和という。$f,g\in L^1(\mathbb{T})$ の畳み込みを $(f*g)(\theta)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(\theta-\varphi)g(\varphi)\,d\varphi$ で定め、平行移動を $(\tau_tf)(\theta)=f(\theta-t)$ と書く。